Sir \textit{William Rowan Hamilton}'s fluctuating functions. (Q1489458)

Die bekannte Formel \(\lim_{n=\infty}\int_a^b f(x')\frac{\sin(x'-x)}{x'-x}dx'=\pi f(x)\) läßt sich bedeutend verallgemeinern, indem man statt der Sinusfunktion andere oszillierende Funktionen recht allgemeiner Art verwendet. Das hat schon im Jahre 1840 \textit{W. R. Hamilton} bemerkt (Trans. Irish Acad. 1843). Er ist, wie \textit{Hobson} bemerkt, zu im wesentlichen richtigen Ergebnissen gelangt, und seine Abhandlung zeichnet sich durch eine für die damalige Zeit bemerkenswerte Strenge aus. \textit{Hobson} stellt die \textit{Hamilton}schen Ergebnisse auf moderne Weise dar, indem er dessen Voraussetzungen, wenn nötig, ergänzt und, wenn möglich, erweitert. Von der oszillierenden Funktion \(\psi(x)\) setzt er voraus, daß sie für alle reellen \(x\) innerhalb endlicher Grenzen bleibt und im \textit{Riemann}schen Sinn integrierbar ist, ferner, daß die Funktion \(\chi(x)=\int_0^x\psi(x)dx\) in jedem endlichen Intervall von der Länge \(c\) mindestens eine Nullstelle hat, endlich daß die Grenzwerte \(\lim_{x=+0}\frac{\psi(x)}{x}\) und \(\lim_{x=-0}\frac{\psi(x)}{x}\) existieren und endlich sind. Unter diesen Voraussetzungen existieren auch die Grenzwerte \(P=\int_0^\infty \frac{\psi(x)}{x}dx\), \(Q=\int_{-\infty}^0\frac{\psi(x)}{x}dx\) und \textit{Hobson} beweist: Ist die Gesamtschwankung von \(f(x)\) in der Umgebung der Stelle \(x\) endlich, dann ist \[ \lim_{n=\infty} \int_\alpha^\beta f(x')\frac{\psi(n(x'-x))}{x'-x}=P f(x+0)+Q f(x-0). \] Diese Beziehung gilt gleichmäßig für alle \(x\), die innerhalb eines Intervalls liegen, in dem \(f(x)\) von beschränkter Schwankung ist. Unter geeigneten Voraussetzungen, worunter sich die der Konvergenz von \(\int_{-\infty}^{+\infty}| f(x)| dx\) befindet, beweist der Verf. auch folgende Verallgemeinerung des \textit{Fourier}scher Integralsatzes: \[ f(x)=\int_0^\infty dy\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\chi(y(x'-x))dx'. \]