The maximum modulus of an integral function. (Q1489476)

\(F(x)\) sei eine ganze Funktion, \(M(r)=\text{Max}_{| x|=r} | F(x)|\). \textit{Denjoy} untersucht die analytische Funktion \(M(r)\) auch für komplexe \(r\) und gibt ohne Beweis folgende Sätze nebst anderen: Ist \(F(x)=1+x^m+\cdots\), so hat \(M(r)\) in der Umgebung des Nullpunkts \(m\) Zweige, die alle mit \(1\pm r^m\) beginnen. Die Nullstellen von \(M(r)\) lassen sich in sehr einfacher Weise aus denen von \(F(x)\) berechnen. \(M(r)\) gehört außer zu \(F(x)\) nur noch zu den Funktionen \(e^{i\alpha}F(xe^{i\beta})\). Zu dem Primfaktor \((1-x)e^{x+\frac{x^2}{2}+\cdots+\frac{x^p}{p}}\) gehören je nach der Größe von \(r\) drei verschiedene analytische Funktionen \(M(r)\), die angegeben werden. \textit{Hardy} untersucht ebenfalls an speziellen Beispielen die verschiedenen analytischen Funktionen, aus denen sich \(M(r)\) zusammensetzt; die Punkte der komplexen Ebene, in denen \(| F(re^{i\vartheta})|=M(r)\) ist (die Maximumkurven), sind unter den Kurven \(\frac{\partial F(re^{i\vartheta})}{\partial \vartheta}=0\) zu suchen. Ist \(M(r)\) für \(r=r'-\delta\) eine andere analytische Funktion als für \(r=r'+\delta\), so können für \(r=r'\) die beiden zugehörigen Maximumkurven entweder sich schneiden oder nicht. Die vollständig durchgeführte Untersuchung von \(M(r)\) für \(F(x)=\text{exp}(-z^3-3az^2-3bz^2)\) bei positivem \(a\) und \(b\) liefert Beispiele für beide Fälle. Bei \(\text{exp}(e^{z^2}+\sin z)\) tritt der zweite Fall unendlich oft ein.