On the \textit{Dirichlet} series and asymptotic expansions of integral functions of zero order. (Q1489487)

Neben der ganzen Funktion endlicher Ordnung \(F(z)\) mit den Nullstellen \(-a_n(n=1,2,\dots)\) wird die \textit{Dirichlet}sche Reihe \(S(s)=\sum_1^\infty n\frac{1}{a_n^s}\) betrachtet; dieselbe konvergiert in einer Halbebene und kann, wenn die an in gewisser einfacher Weise analytisch von n abhängen, in die andere Halbebene fortgesetzt werden. \(S(s)\) läßt sich dann zu einer asymptotischen Darstellung von \(\text{lg} F(z)\) verwenden. Diese Ergebnisse verdankt man \textit{Mellin} (Acta Soc. Fenn. 29, 1900 = Acta Math. 28, 37; F. d. M. 35, 218, 1904, JFM 35.0218.02). \textit{Littlewood} führt sie weiter, indem er spezielle Annahmen über die dn macht; nachdem nämlich \textit{Barnes} [London M. S. Proc. (2) 3, 273; F. d. M. 37, 427, 1906, ??? JFM 37.0427.02 ???] die Funktionen endlicher Ordnung \(>0\) an den typischen Beispielen \(a_n=-n^\vartheta\) untersucht hatte, stellt sich \textit{Littlewood} die Aufgabe, ähnliches für Funktionen nullter Ordnung zu leisten; \(e^{n^k}(0<k<1), \exp((\text{lg}n)^{1+\varrho}),\exp(\text{lg}n(\text{lg\,lg}n)^\varrho)(\varrho>0)\dots\) und etwas allgemeinere Ausdrücke sind seine typischen Beispiele für \(a_n\). (Wenn die \(a_n\) stärker als \(e^n\) unendlich werden, z. B. wie \(e^{n^k}(k>1)\), versagt die vorliegende Theorie; der Verf. vermutet, daß dann die Reihe \(S(s)=\sum_1^\infty n \frac{1}{a_n^s}\) über ihre Konvergenzhalbebene hinaus nicht fortsetzbar ist.) Das Mittel der Untersuchung ist komplexe Integration mit Residuenrechnung; um von den Resultaten des Verf. einen Begriff zu geben, führe ich dasjenige an, das sich auf den Fall \(a_n=\exp(n^{\frac{1}{k}})n^{-\lambda}\) bezieht: \[ S(s)=k\varGamma(k\lambda s+k)s^{-k\lambda s-k}+\sum_0^\infty n\frac{(-s)^n}{\varGamma(n+1)}\zeta\left(-\frac{n}{k}-\lambda s\right). \] Die asyptotischen Formeln für \(\text{lg}F(z)\) sind weniger einfach.