Geometrisches in der Weierstraßschen Theorie der algebraischen Funktionen. (Q1489492)

Die Abhandlung enthält fast nichts wirklich Geometrisches; nur die Terminologie ist insofern geometrisch, als nicht von algebraischen Funktionen, sondern von algebraischen Kurven geredet wird. Durch die Transformation \(x=(g+\alpha\eta)\xi\), \(y=(h+\beta\eta)\xi\) entspricht im allgemeinen jedem Punkte \(x,y\) ein Punkt \(\xi,\eta\), nur dem Punkte \(x=y=0\) die ganze Gerade \(\xi=0\); nähert man sich aber auf einer festen Geraden dem Punkte \(x=y=0\), so nähern sich die entsprechenden Punkte einem ganz bestimmten Punkte der Geraden \(\xi=0\). Die Variabeln \(\xi,\eta\) gehen durch eine ähnliche Transformation in \(\xi_1,\eta_1\), dann in \(\xi_2,\eta_2\) über usw. Der Verf. untersucht die im Fortgang des Verfahrens verwickelter werdenden Gebilde, die dem Punkte \(x=y=0\) entsprechen. Im zweiten Kapitel sollen dann die einzelnen Stellen einer algebraischen Kurve \(f(x,y)=0\) näher untersucht werden; der Verf. stützt sich auf den \textit{Weierstraß}schen Satz, wonach durch Substitutionen der angegebenen Art die einzelnen Zweige, die durch einen singulären Punkt gehen, getrennt werden können, wobei ihm freilich sehr ungeometrische Mißverständnisse unterlaufen (s. z. B. S. 22, Schluß von Art. 12). Er zählt auch die Bedingungen ab, welche die Koeffizienten einer algebraischen Kurve erfüllen müssen, damit sie an gegebenen Stellen Selbstdurchsetzungen von vorgeschriebener Art aufweisen, doch ohne genaue Erörterung der Unabhängigkeit und Verträglichkeit. Diese Abzahlungen benutzt er im dritten Kapitel, um die möglichen Ordnungen adjungierter Kurven abzuleiten nebst der Anzahl ihrer noch willkürlich bleibenden Nullstellen. Verfügt man einmal über die adjungierten Kurven, dann lassen sich leicht Funktionen mit vorgeschriebenen Nullstellen bilden; er Verf. beschäftigt sich insbesondere mit dem \textit{Weierstraß} schen Integranden dritter Gattung \(H(x,y,x',y')\) und mit den adjungierten Ableitungen \(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}, \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\).