Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven. Dritte Mitteilung. (Q1489502)

Der Verf. begründet in dieser Abhandlung das von ihm in seinem römischen Vortrage ``Über ein allgemeines Uniformisierungsprinzip'' (Rom. 4. Math.-Kongr. 2, 25-30) aufgestellte ``allgemeine Abbildungs- und Uniformisierungsprinzip''. Ersteres Prinzip besagt, daß jede auch unendlich-vielblättrige \textit{Riemann}sche Fläche, welche durch jeden inneren Rückkehrschnitt zerstückt wird, umkehrbar eindeutig konform auf einen schlichten Bereich abgebildet werden kann. Letzteres Prinzip besagt, daß jede vom Standpunkte der Analysis situs mögliche Uniformisierung einer beliebigen analytischen Funktion auch funktionentheoretisch verwirklicht werden kann. In dem Falle \textit{endlichen} Zusammenhangs des abzubildenden Bereichs gelingt es, den Nachweis des Abbildungsprinzips ohne neue Konvergenzbetrachtungen zu erbringen, lediglich durch Zurückgehen auf Resultate der ``ersten'' und ``zweiten Mitteilung'' (Gött. Nachr. 1907) des Verf. Man braucht nur in geeigneter Weise die \textit{Schwarz}sche Methode der gürtelförmigen Verschmelzung heranzuziehen. Der Nachweis des Abbildungsprinzips im Falle \textit{unendlich hohen Zusammenhangs} jedoch erfordert wesentlich neue Betrachtungen, durch welche zugleich auch der Fall einfachen und endlichen Zusammenhangs in neuer Weise erledigt wird. Für die Beweisführung ist im Vergleich zu den früheren Untersuchungen des Verfassers die Anwendung des folgenden Konvergenzsatzes charakteristisch: Ist in einem Bereiche eine unendliche Folge von analytischen Funktionen erklärt, deren Werte dem absoluten Betrage nach unterhalb einer von der Wahl der Funktion unabhängigen endlichen Schranke bleibt, so kann aus der Reihe der genannten Funktionen eine Serie ausgewählt werden, welche in dem genannten Gebiete gleichmäßig konvergiert. Der abzubildende Bereich \(B\) wird als Grenze \(B=\lim_{n=\infty}B_n\) von endlich-vielblättrigen, endlich-vielfach zusammenhängenden Näherungsflächen \(B_n\) aufgefaßt. Der einzelne Bereich \(B_n\) kann auf Grund eines vom Verfasser früher (Jahresbericht der D. M. V. 1906) bewiesenen Satzes auf einen schlichten Bereich abgebildet werden. Ist \(\varphi_n(x)\) die Abbildungsfunktion, so kann man aus der Folge \(\varphi_1(x),\varphi_2(x),\varphi_3(x),\dots\) eine gleichmäßig konvergente Folge auswählen, für welche die Grenzfunktion \(\varphi(x)\) im ganzen Innern von \(B\) existiert und eine Abbildung der Fläche \(B\) auf einen schlichten Bereich vermittelt.