Über die Umformisierung beliebiger analytischer Kurven. Vierte Mitteilung. (Q1489503)

In seiner dritten Mitteilung ``Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven'' (Gött. Nachr. 1908, 337 ff.) hat der Verf. den Satz aufgestellt und bewiesen, daß es möglich ist, jede endlich- oder unendlich-vielblättrige, endlich- oder unendlich-vielfach zusammenhängende \textit{Riemann}sche Fläche \(B\), welche schlichtartig ist, d. h. durch jeden inneren Rückkehrschnitt in Stücke zerfällt wird, umkehrbar eindeutig und konform auf einen \textit{schlichten}, d. h. einblättrigen Bereich \(S\) abzubilden. In der vorliegenden Abhandlung gelangt der Verf., abgesehen davon, daß er wesentlich neue Existenzbeweise liefert, zu dem wesentlich weitergehenden Resultat, daß für den Bereich \(S\) folgende Bedingungen erfüllt werden können: Jedes einzelne in sich zusammenhängende Grenzkontinuum des Bereichs \(S\) ist ein Kreisbogen, welcher sich auch auf einen Punkt reduzieren kann; alle diese \textit{Kreisbogen}, deren Menge, allgemein zu reden, die Mächtigkeit des Kontinuums hat, gehören einer und derselben \textit{linearen Kreisschar} an, von welcher der Typus beliebig vorgeschrieben werden kann; die vollständige Begrenzungsmannigfaltigkeit des Bereichs \(S\) hat den \textit{Inhalt Null}, d.h. diese Begrenzungsmannigfaltigkeit läßt sich in ein aus endlich vielen getrennten Flächenstücken gebildetes Gebiet von beliebig kleinem Gesamtflächeninhalt einbetten. Je nachdem der Typus der genannten Kreisschar gewählt ist, wird der Bereich \(S\) ein von lauter zur Achse des Reellen \textit{parallelen geradlinigen Strecken} oder ein von lauter den \textit{Nullpunkt auf ihrer Verlängerung enthaltenden geradlinigen Strecken} oder ein von lauter \textit{konzentrischen Kreisbogen} begrenzter Bereich. Zur Lösung der genannten Abbildungsprobleme wird auf \(B\) (wobei \(B\) auch \textit{nichtschlichtartig} sein kann) eine eindeutige Potentialfunktion \(U\) als Grenze \(\lim_{n=\infty}U_n\) der Näherungspotentiale \(U_n\) konstruiert, wobei die einzelne Funktion \(U_n\) für den Näherungsbereich \(B_n(B=\lim_{n=\infty}B_n\)) unter Zugrundelegung der \textit{Schwarz-Neumann}schen kombinatorischen Methoden mit der Randbedingung ``normale Ableitung gleich Null'' und der Unstetigkeit \(r^{-1}\cos \varphi\) oder \(\varphi\) oder mit zwei logarithmischen Unstetigkeiten bestimmt wird. Für die Funktion \(U\) ergibt sich eine charakteristische ``\textit{Hilbert}sche'' Minimaleigenschaft. Die Art und Weise, wie mit Hülfe dieser Minimaleigenschaft in dem Falle eines \textit{schlichtartigen} Bereichs \(B\) die Abbildungseigenschaft der Funktion \(U=iV\) nachgewiesen wird, verdient ein besonderes Interesse.