Über die Uniformisierung der algebraischen Kurven. I. (Q1489505)

Es werden in dieser Abhandlung in systematischer Weise alle diejenigen zu einer beliebig gegebenen algebraischen Kurve \((x,y)\) gehörenden linear polymorphen uniformisierenden Variablen \(t=t(x,y)\) bestimmt, für welche die zugehörende lineare Substitutionsgruppe aus lauter reellen Substitutionen besteht. Die Funktionen \(t(x,y)\) können dabei relativ zum algebraischen Gebilde \((x,y)\) verzweigt oder auch unverzweigt sein. Der Existenzbereich der eindeutigen automorphen Funktionen \(x(t)\) und \(y(t)\) wird entweder von der ganzen oberen oder unteren Halbebene gebildet oder von der vollständigen Ebene mit Ausschluß unendlich vieler Punkte auf der Achse des Reellen. Im letzteren Falle läßt sich die Kurve \((x,y)\) in reelle Gestalt setzen mittels einer birationalen Transformation. Im Hinblick auf die zentrale Bedeutung der in dieser Abhandlung bestimmten Klasse von uniformisierenden Variablen erschien es dem Verf. als eine organische Notwendigkeit, reelle lineare Substitutionen mit \textit{negativer} Koeffizientendeterminante gleichberechtigt neben denen mit \textit{positiver} Determinante zuzulassen, im Unterschiede von \textit{H. Poincaré} [Acta Math. 31, 1--64 (1907; JFM 38.0452.02)] und \textit{R. Fricke} und \textit{F. Klein} ``Vorlesungen über die Theorie der automorphen Funktionen.'' 1. Band [Leipzig: B. G. Teubner (1897; JFM 28.0334.01)]. Auf diese Weise ergab sich namentlich eine naturgemäße und vollständige Beziehung zu Kleins allgemeiner Einteilung der symmetrischen Riemannschen Flächen, bzw. der reellen algebraischen Kurven. Die Existenz der zu bestimmenden uniformisierenden Variablen wird nach der \textit{Methode der Überlagerungsfläche} bewiesen, indem in neuer Modifikation der zuerst 1907 von Poincaré und von dem Verf. begründete \textit{allgemeine Abbildungssatz} über \textit{unendlich vielblättrige einfach zusammenhängende Bereiche} dargetan wird. Wir lassen hier das Inhaltsverzeichnis folgen: A. Einleitung. I. Historisches über das Uniformisierungsproblem, insbesondere die Methode der Überlagerungsfläche. II. Inhalt der vorliegenden Abhandlung. B. Vorbemerkungen. Allgemeiner Begriff der zu einer algebraischen Kurve gehörenden linear-polymorphen uniformisierenden Variablen. C. Vorbereitende Untersuchung. Die Uniformisierung algebraischer Kurven durch rationale Funktionen, rationale Funktionen einer Exponentialfunktion, elliptische Funktionen. D. Erster (analytischer) Hauptteil. Formulierung des Problems der Bestimmung aller zu einer beliebig gegebenen algebraischen Kurve gehörenden linear-polymorphen uniformisierenden Variablen mit reeller Substitutionsgruppe. Wertegebiet und charakteristische Signatur der einzelnen uniformisierenden Variablen. I. Das Wertegebiet der einzelnen uniformisierenden Variablen. II. Die charakteristische Signatur der einzelnen uniformisierenden Variablen. E. Zweiter (synthetischer) Hauptteil. Vollständige Lösung des Problems der Bestimmung aller zu einer beliebig gegebenen algebraischen Kurve gehörenden linear-polymorphen uniformisierenden Variablen mit reeller Substitutionsgruppe. Existenz der zu einer gegebenen Signatur gehörenden Variablen. I. Formulierung der zu lösenden Einzelprobleme. Zerlegung jedes Einzelproblems in ein Problem der Analysis situs und ein Problem der konformen Abbildung. II. Lösung der Analysis-situs-Probleme. III. Lösung der Abbildungsprobleme. F. Schlußbemerkungen.