Fonction potentielle et fonction analytique ayant un domaine d'existence donné à un nombre quelconque (fini ou infini) de feuillets. (Q1489507)

Zu jeder analytischen Funktion \(y(x)\) gehört eine durch diese Funktion exakt definierte endlich- oder unendlich-vielblättrige, endlich- oder unendlich-vielfach zusammenhängende \textit{Riemann}sche Fläche, welche nur aus inneren Punkten besteht als den Repräsentanten aller derjenigen Stellen des Gebildes \((x,y)\); an welchen die Funktion \(y(x)\) den Charakter einer algebraischen Funktion besitzt. Ist umgekehrt eine beliebige \textit{Riemann}sche Fläche der denkbar allgemeinsten Art vorgelegt, so ergibt sich der fundamentale Satz, daß dieselbe stets im genannten Sinne zu einer analytischen Funktion gehört. Zu dem Zwecke wird zunächst auf der gegebenen Fläche ein eindeutiges Elementarpotential mit nur einer Unstetigkeit \(r^{-1}\cos \varphi\) konstruiert. Durch Zusammensetzung ergibt sich daraus ein ebenfalls eindeutiges Potential \(U=\sum_{n=1}^\infty U_n\) mit unendlich vielen Unstetigkeiten, die sich gegen die Grenze der Fläche überall häufen. Die Funktion \(\frac{d(U+iV)}{d(x+iy)}\) ist dann eine zu der gegebenen Fläche gehörende analytische Funktion mit dieser Fläche als vollständigem und genauen Existenzbereich.