Über die aus den singulären Stellen einer analytischen Funktion mehrerer Veränderlichen bestehenden Gebilde. (Q1489509)

Der Verf. hat schon durch mehrere tief eindringende Abhandlungen (F. d. M. 36, 483, 1905, JFM 36.0483.01, JFM 36.0483.02; 37, 443, 1906, JFM 37.0443.01) teils vom \textit{Weierstraß}schen reihentheoretischen Standpunkt aus, teils mit Benutzung des \textit{Cauchy}schen Integralsatzes die Theorie der analytischen Funktionen mehrerer Veränderlichen bereichert. Indem er auf den Ergebnissen dieser Arbeiten, deren Kenntnis vom Leser nicht unbedingt vorausgesetzt wird, weiterbaut, gelangt er in der vorliegenden Abhandlung zu einem Satze, der künftig eine der wichtigsten Grundlagen für weitere Forschungen bilden dürfte. Er beweist nämlich zunächst folgenden Satz, der dann in nachher näher anzugebender Weise erweitert wird. Es sei \(x=0, y=0\) eine singuläre Stelle für einen gewissen im Gebiete \(| x| <\varrho, | y| <\varrho'\) eindeutigen Zweig \(f(x,y)\) einer analytischen Funktion von \(x\) und \(y\). Zu jedem der Bedingung \(| \xi| <\varrho\) genügenden Werte \(\xi\) möge für \(f(x,y)\) eine und nur eine singuläre Stelle \((\xi,\eta)=(\xi,\varphi(\xi))\) existieren, deren \(y\)-Koordinate \(\eta=\varphi(\xi)\) dem absoluten Betrage nach unterhalb \(\varrho'\) liegt, und es möge ferner \(\eta=\varphi(\xi)\) für \(| \xi| <\varrho\) einen mit \(\xi\) stetig sich ändernden Wert besitzen. Alsdann stellt \(\eta=\varphi(\xi)\) notwendig eine für \(\xi=0\) reguläre analytische Funktion von \(\xi\) dar. Er führt den Beweis, indem er \(f(x,y)\) nach Potenzen von \(x\) und \(y-y_0\) entwickelt, wo \(\frac{\varrho'}{5}<(y_0)<\frac{2\varrho'}{5}\) ist. Diese Reihe konvergiert, falls \(x\) in der Umgebung des Nullpunktes liegt und \((y-y_0)<| \varphi(x)-y_0|\) ist. Die positive Größe \(R_x=| \varphi(x)-y_0|\) genügt als Funktion von \(x=u+iv\) der Differentialgleichung \(\frac{\partial^2\log R_x}{\partial u^2}+\frac{\partial^2\log R_x}{\partial v^2}=0\). Der Beweis des Verf. stützt sich auf einen früher von ihm bewiesenen Satz; ein zweiter diesen Hülfssatz vermeidender Beweis wird angedeutet. Ist nun \(\varphi(x)=U+iV\), so folgt leicht, daß \(\varphi(x)\) entweder eine Potenzreihe von \(u+iv\) oder von \(u-iv\) ist; der letztere Fall wird nach der Substitution \(z=x+yi\) als unmöglich erkannt. Der bewiesene Satz wird nach drei Richtungen erweitert: Erstens erweist sich die bezüglich der Eindeutigkeit des Funktionszweiges \(f(x,y)\) gemachte Voraussetzung als überflüssig; zweitens reicht es bereits hin, wenn zu jedem dem Gebiete \(| \xi|<\varrho\) angehörigen Werte \(\xi\) die Existenz \textit{höchstens} einer singulären Stelle \(\xi,\eta\) vorausgesetzt wird, und drittens kann auf die Voraussetzung betreffend die Stetigkeit von \(\varphi(\xi)\) verzichtet werden. Außerdem wird folgende Erweiterung des Satzes bewiesen: Gehören unter den gleichen Voraussetzungen wie soeben zu jedem \(\xi\) höchstens \(r\) singuläre Stellen \((\xi,\eta_1), (\xi,\eta_2),\dots,(\xi,\eta_r)\), so sind die \(r\) elementaren symmetrischen Funktionen der \(\eta\) analytische Funktionen von \(\xi\). Sämtliche Resultate werden auch für beliebig viele Veränderliche bewiesen.