The zeros of the integral function \(\sum \frac{x^{n^2}}{n^2!}\), and of some similar functions. (Q1489530)

In der Abhandlung: On the integral function \(\sum x^{\varphi(x)}/[\varphi(n)]!\) (F. d. M. 36, 473, 1905, JFM 36.0473.02, JFM 36.0473.03) hat der Verf. gezeigt, wie man mit hohem Genauigkeitsgrade die Natur der Nullen einer Klasse ganzer Funktionen bestimmen kann, von der \(\sum x^{n^p}/[n^p]!\) wo \(p\) eine ganze Zahl \(>2\) ist, ein typisches Beispiel ist. Die dort angewandte sehr einfache Methode versagt in dem besonders interessanten Falle \(p=2\), weil das Wachstum der Funktion \(n^2\)nicht schnell genug vor sich geht, um den dort über \(\varphi(n)\) gemachten Annahmen zu genügen. Es wurde indes in einer Fußnote bemerkt, daß ähnliche Ergebnisse in diesem Falle durch etwas mehr verfeinerte Methoden zu erlangen seien. Durch die Veröffentlichung der \textit{Borel}schen Arbeit: Sur quelques fonctions entières, F. d. M. 38, 447, 1907, JFM 38.0447.02 fühlte sich der Verf. veranlaßt, seine bezüglichen Untersuchungen nunmehr erscheinen zu lassen. Nach Darlegung der allgemeinen Methode kommt er unter anderem zu folgenden besonderen Ergebnissen. Die Funktion \(\sum \frac{x^{n^2}}{n^2!}\) hat für hinreichend große Werte von \(N\) genau \(N^2\) Wurzeln innerhalb des Kreises \(r=N^2\). Die \(2N+1\) Wurzeln, welche zwischen den Kreisen \(r=N^2\) und \(r=(N+1)^2\) liegen, werden durch die Formel gegeben: \[ x=N(N+1)\left\{\cos\;\frac{(2k-1)\pi}{2N+1}+i\sin\;\frac{(2k-1)\pi}{2N+1}\right\}\quad (k=1,2,\dots,2N+1) \] mit einem Grade der Annäherung, der sich aus den vorangehenden Betrachtungen ergibt. Entsprechende Resultate folgen für die Funktionen: \[ \sum_0^\infty\;\frac{(-1)^n x^{(2n+1)^2}}{(2n+1)^2!},\;\sum_0^\infty\;\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)^2!}. \]