Sur lar réduction des intégrales abéliennes et les fonctions fuchsiennes. (Q1489553)

Die beiden ersten Paragraphen enthalten die wichtigsten Sätze über reduzierbare \textit{Abel}sche Integrale. Mit \(x,y\) seien die Koordinaten der Punkte einer algebraischen Kurve \(C\) vom Geschlecht \(p\), mit \(x',y'\) die der Punkte einer anderen \(C'\) vom Geschlecht \(q < p\) bezeichnet. Lassen sich dann \(x',y'\) rational durch \(x, y\) ausdrücken, sodaß jedem Punkte von \(C\) ein ganz bestimmter Punkt von \(C'\) zugeordnet ist, so sind \(q\) von den zu \(C\) gehörigen Integralen erster Gattung reduzibel; ihre \(2pq\) Periodizitätsmoduln \(\alpha_{ik} (i=1, 2,\dots,q; k=1,2,\dots,2n)\) lassen sich linear und ganzzahlig aus den \(2q^2\) Periodizitätsmoduln \(\beta_{ij}\) von \(q\) linearunabhängigen Integralen erster Gattung der Kurve \(C'\) zusammensetzen in der Form: \[ (1)\quad \alpha_{ik}=\sum_{j=1}^{2q} m_{kj}\beta_{ij}. \] Man wird dabei bemerken, daß aus dem bloßen Bestehen von Gleichungen der Form (1) noch nicht folgt, daß die \(\beta\) die Periodizitätsmoduln von \(q\) Integralen des Geschlechts \(q\) sind, und, wenn sie es sind, noch nicht, daß \(x',y'\) sich rational durch \(x,y\) darstellen lassen. Endlich sind nicht auch umgekehrt \(x,y\) rational durch \(x,y\) ausdrückbar; zu einem Punkte von \(C'\) gehören mehrere Punkte von \(C\); ihre Anzahl sei mit \(n\) bezeichnet. Zwischen den Periodizitätsmoduln irgend zweier der zu \(C\) gehörigen Integrale erster Gattung besteht eine bilineare Relation. Aus diesen bilinearen Relationen ergibt sich im Falle des Bestehens der Gleichungen (1) für \(q\) dieser Integrale, daß die Periodizitätsmoduln von \(p-q\) weiteren \(u'\) sich in der gleichen Weise linear mit ganzzahligen Koeffizienten \(n\) aus \(2(p-q)^2\) Größen zusammensetzen lassen. Der Wert der aus den \(m\) und \(n\) gebildeten Determinante \(2p\)-ten Grades ist eine Invariante I und stets einer Quadratzahl gleich. Die zu \(C\) gehörigen Thetafunktionen sind, als Funktionen der \(u'\) betrachtet, Thetafunktionen \(n\)-ter Ordnung. Einem Punkte \(M'\) von \(C'\) (jetzt als \textit{Riemann}sche Fläche betrachtet) entsprechen \(n\) Punkte \(M\) von \(C\); fällt \(M'\) mit einem Verzweigungspunkte zusammen, so mögen \(v_1\) Punkte \(M\) in \(A_1,v_2\) in \(A_2,\dots\) fallen. Umkreist dann \(M'\) den Punkt \(A'\), so ordnen sich die \(n\) Punkte \(M\) dementsprechend in Zyklen, und erst nach \(v\) (wo \(v\) das kleinste gemeinsame Vielfache von \(v_1,v_2,\dots\) ist) Umläufen des Punktes \(M'\) kehren alle Punkte \(M\) in ihre Anfangslagen zurück. Stellt man nun \(x,y\) und \(x',y'\) als \textit{Fuchs}sche Funktionen einer Hülfsvariable \(z\) dar, so erleidet \(z\) bei Umkreisung von \(A'\) eine elliptische lineare Substitution von der Periode \(v\). Bezeichnet man die zu \(x,y\) gehörige \textit{Fuchs}sche Gruppe mit \(G\), das entsprechende Kreisbogenpolygon mit \(P\) und die analogen Größen für \(x',y'\) mit \(G'\) und \(P'\), so ist, da \(x', y'\) rational durch \(x, y\) darstellbar, \(G\) eine Untergruppe von \(G'\), und das Polygon \(P\) ist zerlegbar in \(n\) zu \(P'\) kongruente Polygone. Jedem Punkte \(A_i\) entspricht ein Zyklus von Ecken des Polygons \(P\) mit der Winkelsumme \(\frac{2\pi v_i}{v}\), jedem Verzweigungspunkte \(A'\) ein Zyklus von Ecken des Polygons \(P'\) mit der Winkelsumme \(\frac{2\pi}{v}\). Nachdem so die Frage nach der Reduktion \textit{Abel}scher Integrale in Zusammenhang gebracht ist mit der nach der Zerlegung \textit{Fuchs}scher Polygone in kongruente, werden zunächst die Beziehungen zwischen den Anzahlen \(Q,Q'\) ihrer Eckenzyklen, \(2N, 2N'\) ihrer Seiten und den Zahlen \(p,q\) aufgestellt. Es wird sodann in \S\,4 die obengenannte, zwischen den Periodizitätsmoduln irgend zweier Integrale erster Gattung bestehende bilineare Relation durch Integration über den Umfang von \(P\) abgeleitet und nach einer vorbereitenden Untersuchung über das Entsprechen der Seiten von \(P\) und \(P'\) in den \S\,6 und 7 gezeigt, wie man den Wert der gleichfalls früher definierten Invariante I berechnen kann. Die noch folgenden \S\,8-11 enthalten eine genauere Untersuchung der gestaltlichen Verhältnisse der Polygone \(P\) und \(P'\), insbesondere für den Fall \(q=1\), d. h. den Fall, daß von den zu \(C\) gehörigen Integralen erster Gattung eines auf ein elliptisches Integral reduzierbar ist.