On the representation of a function by a series of \textit{Legendre}'s functions. (Q1489566)

In einer früheren Arbeit (s. F. d. M. 39, 476, 1908, JFM 39.0476.02) hatte der Verf. allgemein die Bedingungen für die Konvergenz von Reihen, die nach Eigenfunktionen fortschreiten, untersucht, und dabei speziell auch die nach einfachen Kugelfunktionen (\textit{Legendre}scehen Funktionen) fortschreitenden Reihen behandelt. Hier wird nun gezeigt, daß <ür die Konvergenz der Kugelfunktionenreihe weniger enge Bedingungen erforderlich sind, als in der früheren Arbeit angegeben war. Zur Konvergenz der zu der Funktion \(f(x)\) gehörigen Kugelfunktionenreihe ist nur erforderlich, daß die Funktion \((1-x^2)-{\frac{1}{4}}f(x)\) im Intervall \(-1\cdots +1\) im \textit{Lebesgue}schen Sinne integrabel ist [früher war gefordert, daß \(f(x)\) selbst integrabel ist]. Die weiteren Bedingungen, daß \(x\) \textit{im Innern} des Intervalls liegt, und daß \(f(x)\) in der Umgebung von \(x\) beschränkte Schwankung besitzt, stimmen mit der früheren überein; ebenso bleibt das frühere Resultat bestehen, daß in jedem Stetigkeitsintervall die Konvergenz gleichmäßig ist. Das Resultat beruht aufdem Hülfssatz, daß für \(0<\vartheta<\pi\) der numerische Wert von: \[ (n\sin\vartheta)^{\frac{1}{4}}P_n(\cos \vartheta) \] kleiner ist als eine feste positive, von \(n\) unabhängige Zahl. Dieser Hülfssatz wird aus der unendlichen, nach Sinus der Vielfachen von \(\vartheta\) fortschreitenden Reihe für \(P_n(\cos \vartheta)\) abgeleitet. Er wird dann angewandt zur Diskussion des Ausdrucks für die Summe der \(n+1\) ersten Glieder der Kugelfunktionenreihe eines Ausdrucks, der vom Verf. in der früheren Arbeit abgeleitet ist der übrigens unmittelbar aus einer schon 1858 von \textit{Christoffel} gefundenen Formel folgt. Weiter wird näher untersucht, unter welchen Bedingungen die Reihe auch in den singulären Punkten \(-1\) und \(+1\) konvergiert. Dazu ist erforderlich 1) daß \(f(x)\) im \textit{Lebesgue}schen Sinne intregabel ist, 2) daß \(f(x)\) in der Umgebung der Punkte \(+1,-1\) beschränkte Schwankungen besitzt, 3) daß, wenn für einen Wert \(\xi\) im Innern des Intervalls \((-1\cdots+1)f(x)=\infty\) wird, \(f(x)\) die Form hat \[ \frac{A}{(x-\xi)^k}+\psi(x), \] wobei \(k<\frac12\) ist und \(\psi(x)\) beschränkte Schwankung besitzt. Für die Grenzen \(-1,+1\) des Intervalls sind somit die Konvergenzbedingungen enger als für Punkte im Innern. Nebenbei ergibt sich das Resultat, daß, wenn \(f(x)\) die Form \[ f(x)=\frac{A}{(1+x)^k}+f_1(x) \] hat und \(k\geqq \frac{3}{4}\) ist, die Kugelfunktionenreihe auch für Punkte im Innern des Intervalls nicht mehr konvergiert.