Über einige Reihenentwicklungen, die nach Produkten von Kugelfunktionen fortschreiten. (Q1489568)

Die hier mitgeteilten neuen Formeln werden durch folgende Betrachtung gewonnen. Sind \(\varrho,\mu,\varphi\) die elliptischen Koordinaten eines Punktes (für verlängerte Rotationsellipsoide), seine rechtwinkligen Koordinaten also \[ x=\alpha\varrho\mu, y=a\sqrt{\varrho^2-1}\sqrt{1-\mu^2}\cos\varphi, z=a\sqrt{\varrho^2-1}\sqrt{1-\mu^2}\sin\varphi, \mu=\cos \vartheta, \] so gilt für die reziproke Entfernung des Punktes \(\varrho,\mu\varphi\) von dem Punkte \(\varrho_1,\mu_1,\varphi_1\), falls \(\mu_1=1\) und \(\varrho<\varrho_1\) ist, die Gleichung: \[ \frac{a}{E}=\frac{1}{\sqrt{-1+\varrho^2+\varrho_1^2+\mu^2-2\varrho\varrho_1\mu}}=\sum_{n=0}^\infty \frac{2n+1}{2}\;P_n(\varrho)P_n(\mu)Q_n(\varrho_1). \] Differenziert man diese Gleichung partiell nach \(x\), dann nach \(\varrho_1\) und beachtet, daß \[ Q_n^\prime(\varrho_1)=-\{(2n+3)Q_{n+1}+(2n+7)Q_{n+3}+(2n+11)Q_{n+5}+\cdots\} \] ist, so ergibt die Vergleichung der beiden durch Differentiation erhaltenen Reihen nach einigen Reduktionen folgendes Resultat: Setzt man \[ P_n(\varrho)P_n(\mu)=U_n, \] so ist für \(n>0\) \[ \text{(A)}\quad \begin{cases} \frac{n(n+1)}{2n+1} \frac{P_{n+1}(\varrho)P_{n-1}(\mu)P_{n-1}(\varrho)}{\varrho^2-\mu^2}\\ =(2n-1)U_{n-1}+(2n-5)U_{n-3}+(2n-9)U_{n-5}+\cdots\end{cases} \] (das letzte Glied der Reihe ist \(3\cdot U_1\) oder \(1\cdot U_0\)). Aus dieser Formel, die zunächst für \(\varrho>1\) und \(\mu<1\) abgeleitet ist, aber sofort auf beliebige Werte von \(\varrho\) und \(\mu\) ausgedehnt werden kann, ergeben sich weitere bemerkenswerte Resultate für \(\varrho=\mu\) und \(\varrho=1\); auch läßt sich aus ihr eine von \textit{Christoffel} gefundene Formel herleiten (s. J. für Math. 55, 1858). Die Entwicklung von \(a/E\) für den Fall \(\varrho>\varrho_1\) führt in ganz analoger Weise zu dem Resultat: Ist \[ V_n=Q_n(\varrho)P_n(\mu) \] so ist für \(n>0\) \[ (B)\quad\begin{cases} \frac{n(n+1)}{2n+1}\frac{Q_{n+1}(\varrho)P_{n-1}(\mu)-Q_{n-1}(\varrho)P_{n+1}(\mu)}{\varrho^2-\mu^2}\\ =-[(2n+3)V_{n+1}(2n+7)V_{n+3}+(2n+11)V_{n+5}+\cdots],\end{cases} \] während für \(n=0\) folgt: \[ \frac{2\mu}{\varrho^2-\mu^2}=3V_1+7V_3+11V_3+\cdots. \] Aus (B) ergibt sich folgendes Analogen der \textit{Christoffel}schen Formel: \[ \frac{Q_n(\varrho)P_{n-1}(\mu)-P_n(\mu)Q_{n-1}(\varrho)}{\varrho-\mu}=-\frac{1}{n}\;\{(2n+1)V_n+(2n+3)V_{n+1}+(2n+5) _{n+2}+\cdots\}. \] Ersetzt man die Differentiation von \(a/E\) nach \(x\) durch eine solche nach \(y\), die Differentiation nach \(\varrho_1\) durch ein anderes Verfahren (Differentiation der Reihe für beliebige \(\mu_1\) nach \(\varphi\), während \(\mu_1\) erst nachträglich \(=1\) gesetzt wird), so ergeben sich noch folgende Resultate: Für \(n>1\) ist \[ (C)\quad \frac{\varrho P_n^\prime(\varrho)P_n(\mu)-\mu P_n^\prime(\mu)P_n(\varrho)}{\varrho^2-\mu^2} =-\left[\frac{2n-1}{(n-1)n}\;\mathfrak{U}_{n-1}+\frac{2n-5}{(n-3)(n-2)}\;\mathfrak{U}_{n-3}+\frac{2n-9}{(n-5)(n-4)}\;\mathfrak{U}_{n-5}+\cdots\right], \] wo \[ \mathfrak{U}_n=P_n^\prime(\varrho)P_n^\prime(\mu) \] ist. Ferner gilt für beliebige \(n\): \[ (D)\quad \frac{\varrho Q_n^\prime(\varrho)P_n(\mu)-\mu P_n^\prime(\mu)Q_n(\varrho)}{\varrho^2-\mu^2} =\frac{2n+3}{(n+1)(n+2)}\;\mathfrak{V}_{n+1}+\frac{2n+7}{(n+3)(n+4)}\;\mathfrak{V}_{n+3}+\cdots, \] wo \[ \mathfrak{V}_n=Q_n^\prime(\varrho)P_n^\prime(\mu) \] ist. Benutzt man statt der elliptischen räumliche Polarkoordinaten, so führt dieselbe Methode, wie im Anfang der Abhandlung gezeigt wird, auf bekannte Rekursionsformeln der Kugelfunktionen.