Näherungsformeln für die Zylinderfunktionen für große Werte des Arguments und unbeschränkt veränderliche Werte des Index. (Q1489575)

Die bekannten semikonvergenten Entwicklungen der Zylinderfunktionen, die am eingehendsten von \textit{Hankel} untersucht sind, sind zur Berechnung der Funktionswerte für große Argumente \(x\) nur dann brauchbar, wenn der Index \(\alpha\) der Zylinderfunktion klein gegen \(x\) ist. Physikalische Anwendungen erfordern aber die Kenntnis der Funktionswerte auch für den Fall, daß \(\alpha\) mit \(x\) vergleichbar wird. Der Verf. hat sich daher die Aufgabe gestellt, solche Entwicklungen anzugeben, welche die Zylinderfunktionen asymptotisch ersetzen können für große Werte des (reellen) Arguments bei unbeschränkt veränderlichen (ebenfalls reellen Werten) des Index. Er geht dabei von den \textit{Hankel}schen Funktionen \(H_1^\alpha(x), H_2^\alpha(x)\) aus, die sich im Anschluß an eine Arbeit von \textit{Sommerfeld} durch das auf verschiedenen Wegen zu erstreckende komplexe Integral \[ H^\alpha(x)=-\frac{1}{\pi}\int e^{-ix\sin\tau}e^{i\alpha\tau}d\tau \] darstellen lassen. Indem er den Integrationsweg so spezialisiert, daß die Ausrechnung der Integrale möglichst vorteilhaft wird, gelangt er zu folgender Umformung des Integrals für \(H_2^\alpha(x)\). Ist \[ f(\tau)=i\left(\sin\tau-\frac{\alpha}{x}\tau\right), \] ferner \[ f'(\tau_0)=0, \] so führe man in dem obigen Integral die neue Veränderliche \[ (9)\quad t=f(\tau)-f(\tau_0) \] ein; dann wird \[ (10)\quad H_2^\alpha(x)=\frac{e^{-xf(\tau_0)}}{\pi}\left(\int_0^\infty e^{-xt}\Phi(t)dt-\int_0^\infty e^{-xt}\Phi_1(t)dt\right). \] Darin ist die Integration nach \(t\) längs der reellen Achse zu erstrecken. Ferner sind die Funktionen \(\Phi(t)\) und \(\Phi_1(t)\) die sich aus (9) ergebenden Werte von \(\frac{1}{f'(\tau)}\). Werden \(\Phi(t)\) und \(\Phi_1(t)\), die sich nur durch das Vorzeichen von \(\sqrt{t}\) unterscheiden, nach Potenzen von \(\sqrt{t}\) entwickelt, so erhält man aus (10) die gesuchten semikonvergenten Reihen. Die Rechnung wird für \(H_2^\alpha(x)\), danach für \(H_1^\alpha(x)\) durchgeführt, und daraus werden die Reihen für die gewöhnlich betrachteten Zylinderfunktionen \(I_\alpha(x)\) und \(I_{-\alpha}(x)\) abgeleitet. Von den Resultaten mögen hier die für \(I_\alpha(x)\) Platz finden. 1) Ist \(\alpha<x\), so setze man \(\cos \tau_0=\frac{\alpha}{x}\); dann wird \[ I_\alpha(x)=\frac{1}{\pi}\;\sum_{n=0}^n A_n(\tau_0)\;\frac{\varGamma(n+\frac12)}{\left(\frac{x}{2}\sin\tau_0 \right)^{n+\frac12}}\cdot \cos\left\{x(\sin\tau_0-\tau_0\cos \tau_0)-(2n+1)\frac{\pi}{4}\right\}, \] und darin ist \[ \begin{aligned} A_0(\tau_0)&=1,\;A_1(\tau_0)=\frac{1}{8}+\frac{5}{24}\text{cotg}^2\tau_0,\\ A_2(\tau_0)&=\frac{3}{128}+\frac{7}{576}\text{cotg}^2\tau_0+ \frac{385}{3456} \text{cotg}^4\tau_0.\end{aligned} \] 2) Für \(\alpha>x\) setze man ebenfalls \(\cos\tau_0=\frac{\alpha}{x}\), wo \(\tau_0\) einen negativ imaginären Winkel bezeichnet, so wird \[ I_\alpha(x)=\frac{1}{\pi}\;e^{ix(\sin\tau_0-\tau_0\cos\tau_0)}\;\sum_{n=0}^n A_n (\tau_0)\;\frac{\varGamma(n+\frac12)}{\left(i\,\frac{x}{2}\sin\tau_0\right)^{n+\frac12}}\,, \] und hier haben die \(A_0,A_1,A_2,\dots\) dieselbe Bedeutung wie im vorigen Falle. 3) Ist der Index \(\alpha\) ungefähr gleich dem Argumente \(x\), so setze man \[ \frac{\alpha}{x}=1-\varepsilon \] und hat \[ I_\alpha(x)=\frac{1}{3\pi}\;\sum_{n=0}^n\;B_n(\varepsilon x)6^{\frac{n+1}{5}}\sin\;\frac{(n+1)\pi}{3}\;\frac{\varGamma(\frac{n+1}{3})}{x^{\frac{n+1}{5}}}; \] hierin ist \[ B_0(\varepsilon x)=1,\quad B_1(\varepsilon x)=\varepsilon x,\;B_2(\varepsilon x)=\frac{\varepsilon^2x^2}{2}-\frac{1}{20}, \] \[ B_3(\varepsilon x)=\frac{\varepsilon^3x^6}{6}-\frac{\varepsilon x}{15},\dots. \]