Una interpretàzione geometrica del gruppo totale di sostituzioni sopra sei elementi. (Q1489627)

Im \(n\)-dimensionalen Raume \(S_n\) wird eine Kollineation durch \(n+2\) Paare von Punkten oder linearen \(S_{n-1}\) bestimmt. Hat man daher \(n+2\) Punkte (oder \(n+2\) lineare \(S_{n-1}\)) in allgemeiner Lage, so gehört zu ihnen eine Gruppe von \((n+2)!\) Kollineationen, welche diese Punkte auf alle mögliche Arten permutieren. Mit dieser Gruppe ist eine (imaginäre, \((n-1)\)-dimensionale) Fläche zweiter Ordnung \(F^{(2)}\) verbunden, die bei allen Operationen der Gruppe invariant bleibt. Zu jedem \((n+2)\)-Eck in \(S_n\) gehört daher ein bestimmtes \((n + 2)\)- Flach, dasjenige nämlich, welches zu ihm bezüglich der zugehörigen Fläche \(F^{(2)}\) polar ist. Ebenso ist umgekehrt durch ein \((n+2)\)-Flach ein \((n+2)\)-Eck mitbestimmt. Alle diese Verhältnisse lassen sich leicht übersehen, wenn man die Punkte des \(S_n\) durch \(n + 2\) homogene Koordinaten \(x_1,\dots,x_{n+2}\) darstellt, die der Bedingung \(\sum x_i=0\) unterworfen sind. Die \(n+2\) linearen \(S_{n+1}\) mit den Gleichungen \(x_i=0,\dots,x_{n+2}=0\) bilden dann ein allgemeines \((n+2)\)-Flach, das zugehörige \((n+2)\)-Eck besteht aus denjenigen Punkten, von deren Koordinaten \(n+1\) den Wert 1 haben, die noch übrige also gleich \(-(n+1)\) ist. Die Gleichung der invarianten \(F^{(2)}\) kann dann in jeder der beiden Formen \(\sum x_i^2=0\) oder \(\sum x_ix_k=0\) geschrieben werden. Diese \(F^{(2)}\) ist die einzige Fläche zweiter Ordnung, die gegenüber der ganzen Kollineationsgruppe invariant bleibt. Ebenso gibt es eine einzige Invariante \(F^{(3)}\) mit der Gleichung \(\sum x_i^3=0\), ferner einen Büschel invarianter \(F^{(4)}\) und einen solchen invarianter \(F^{(5)}\). Die Gleichungen der letzteren können in der Form \(\alpha\sum x_i^4+\beta\sum x_i^2x_k^2=0\), bzw. \(\alpha\sum x_i^5-\beta\sum x_hx_ix_kx_lx_m=0\) dargestellt werden. Die Punkte des \((n+2)\)-Ecks und diejenigen linearen Mannigfaltigkeiten, die sich aus ihnen durch Verbinden ergeben, nennt Verf. ``Elemente'' des \((n+2)\)-Ecks. Ist \(2\leqq q\leqq n\), so heißen zwei Elemente ``entgegegesetzt'', wenn das eine aus der Verbindung von \(q\) Punkten, das andere aus der Verbindung der übrigen \(n+2-q\) Punkte hervorgeht. Durch wiederholtes Verbinden und Schneiden werden aus den Elementen die ``diagonalen Elemente abgeleitet''. Entsprechendes gilt für das \((n+2)\)-Flach. Durch die Konstruktion der diagonalen Elemente kann man vom \((n + 2)\)-Flach zum zugehörigen \((n + 2)\)-Eck gelangen, und umgekehrt. Aus den diagonalen Elementen des \((n + 2)\)-Ecks heben wir die ``Diagonalpunkte erster Art hervor''. Werden die Punkte des \((n+2)\)-Ecks mit \(1,2,\dots\) bezeichnet, und sind \(i, k\) zwei von ihnen, so schneidet die Verbindungsgerade \(ik\) das entgegengesetzte Element, also den die übrigen Punkte verbindenden \(S_{n-1}\) im Diagonalpunkt erster Art \(D(i,k)\). Alle diese Betrachtungen werden für den Fall \(n = 4\) genauer ausgeführt, auch werden die Kollineationen und die aus ihnen gebildeten Untergruppen aufgezählt. Eine Besonderheit dieses Falles, in welchem also die zugrunde gelegte Figur ein Sechseck ist, ist eine gewisse Analogie dieses Sechsecks mit dem \textit{Pascal}schen. Bezeichnen wir wieder mit \(1,2,\dots,6\) die Ecken des Sechsecks im \(S_4\), mit \(iklmnp\) eine Permutation der Ziffern \(1,\dots,6\) so zeigt sich leicht, daß die drei Diagonalpunkte \(D(i,k), D(l,m), D(n,p)\) in einer Geraden liegen. Es sei \(D(lm,np)\) derjenige Punkt dieser Geraden, welcher von \(D(i,k)\) durch \(D(l,m)\) und \(D(n,p)\) harmonisch getrennt wird. Die Punkte \(D(lm,np)\) heißen ``Diagonalpunkte dritter Art'', ihre Anzahl ist 45. Wir denken uns nun den Punkten \(1,2,\dots,6\) die Ecken \(1',2',\dots,6'\), eines \textit{Pascal}schen Sechsecks, jedem Punkte \(D(lm,np)\) den Schnittpunkt \((l'm',n'p')\) zugeordnet. Nun liegen die 45 Punkte \((l'm',n'p')\) zu drei und drei auf 60 \textit{Pascal}schen Geraden, und es wird gezeigt, daß die Punkte \(D (lm,np)\) der Raumfigur, welche den 3 Punkten einer \textit{Pascal}schen Geraden entsprechen, wiederum in einer Geraden, einer ``\textit{Pascal}schen Geraden der Raumfigur'' liegen. Die 60 \textit{Pascal}schen Geraden der ebenen Figur ordnen sich in 10 Gruppen zu je \(2\cdot 3\). Zu jeder Gruppe gehören zwei ``entgegengesetzte \textit{Steiner}punkte'', durch jeden von ihnen gehen drei Geraden der Gruppe. Die 6 entsprechenden Geraden der Raumfigur liegen in einem \(S_3\) und gehören zu drei und drei den beiden Regelscharen einer Fläche zweiter Ordnung an.