Die synthetische Polarentheorie der ebenen kubischen Kurven. (Q1489862)

Die Abhandlung stellt eine völlig einwandfreie synthetische Entwicklung der Polarentheorie der Kurven dritter Ordnung dar. Ihr wesentlicher Inhalt ist deshalb auch in die neueste Auflage der \textit{Reye}schen Geometrie der Lage (3. Abt., 4. Aufl. 1910, S. 99 ff.) aufgenommen worden. Es ist damit auch zum ersten Male die Möglichkeit gegeben, die Polarentheorie der kubischen Flächen in voller Allgemeinheit mit den Mitteln der reinen Geometrie der Lage zu begründen. Das Prinzip der \textit{Jolles}schen Entwicklungen liegt darin, die kubische Kurve \(c^3\) als Zentralprojektion der biquadratischen Raumkurve erster Art \(c^4\) aus einem ihrer Punkte \(O\) zu betrachten. Jedem Punkte \(P\) in der Ebene von \(c^3\) entspricht im allgemeinen eine Unisekante \(OP = p\) von \(c^4\). Den Punkten von \(p\) sind für den durch \(c^4\) gehenden \(F^2\)-Büschel die Strahlen einer Kegelschar \({\mathfrak P}^2\) konjugiert, welche die Tangente \(o\) von \(c^4\) in \(O\) enthält. Die \({\mathfrak P}^2\) enthaltende Fläche \(P^2\) berührt in \(O\) die Ebene \(op\). Dasselbe tut eine Fläche \(G^2\) des \(F^2\)-Büschels. \(G^2\) und \(F^2\) schneiden sich daher in einer biquadratischen Raumkurve erster Art \(p^4\) mit dem Doppelpunkte \(O\). Diese wird aus \(O\) durch einen Strahlenkegel zweiter Ordnung projiziert, dessen polarer Bündel stets reell ist. Dieser Kegel schneidet \(c^4\) außer in \(O\) höchstens noch in 6 reellen Punkten, und die Tangenten von \(c^4\) in diesen Punkten schneiden \(p\). Die Ebene der kubischen Kurve schneidet diesen Kegel in einem Kegelschnitt, der die Berührungspunkte der 6 von P an \(c^3\) gezogenen Tangenten enthält. Das ist der Polarkegelschnitt von \(P\). Er ändert sich nicht, wenn \(c^4\) durch eine andere Raumkurve vierter Ordnung erster Art ersetzt wird, deren Zentralprojektion \(c^3\) ist. Liegt \(P\) auf \(c^3\), so ist \(p\) eine Bisekante von \(c^4\). \(P^2\) und \(G^2\) schneiden sich in diesem Falle in \(p\) und einer kubischen Raumkurve \(p^3\). Der \(p^3\) aus \(O\) projizierende Kegel zweiter Ordnung schneidet \(c^4\) außer in \(O\) und dem zweiten Schnittpunkte \(Q\) von \(p\) und \(c^4\) höchstens in 4 reellen Punkten. Er berührt \(c^4\) in \(Q\). Daraus folgen die Eigenschaften des Polarkegelachnitts eines Punktes von \(c^3\). Sodann wird nachgewiesen, daß die den Strahlen \(p\) des zentrischen Bündels \((O)\) zugeordneten Flächen \(P^2\) einen zu ihm projektiven \(F^2\)-Bündel \((P^2)\) bilden. Jedem in \((O)\) enthaltenen Strahlenbüschel \([0]_\xi\) entspricht ein in \((P^2)\) enthaltener \(F^2\)-Büschel \([P^2)_\xi\). Dieser bestimmt mit dem durch \(c^4\) gehenden \(F^2\)-Büschel ein \(F^2\)-Gebüsch. Dieses enthält einen Büschel von Strahlenkegeln zweiter Ordnung, der dem Strahlenbüschel \([O]_\xi\) projektiv ist. Jedem Strahl \(p\), dem Schnitt zweier Strahlenbüschel \([O]_\xi\), \([O]_\xi\), ist also der gemeinsame Kegel zweier Kegelbüschel zugeordnet Die den Strahlen \(p\) des Bündels \((O)\) zugeordneten Kegel bilden einen zu ihm projektiven Kegelbündel. Die Ebene der kubischen Kurve schneidet diesen Kegelbündel in dem Bündel der Polarkegelschnitte aller ihrer Punkte. Zum Schluß wird der Polkegelschnitt einer Geraden und die Polare eines Punktepaares abgeleitet und der bekannte Satz bewiesen: Liegt ein Punkt \(Q\) auf der linearen Polare \(p\) von \(P\), so liegt \(P\) auf dem Polarkegelschnitt \(q^2\) von \(Q\).