An elementary formula for the curvature of a plane curve depending on moving axes. (Q1489917)

Man beziehe eine erste, gegebene Kurve auf Tangente und Normale eines Punktes \(0\) auf ihr als \(x\)- und \(y\)-Achse. Ein anderer Punkt \(P\) der Kurve, dessen Bogenabstand \(OP\) von \(O\) gleich \(s\) sei, werde als Anfangspunkt eines zweiten Koordinatensystems mit Tangente und Normale in \(P\) als Achsen genommen. Ein Punkt \(U\), der in bezug auf dieses System die Koordinaten \(u\) und \(v\) habe, beschreibe eine zweite Kurve. Dann wird die Krümmung dieser zweiten Kurve in \(U\) durch die Formel gegeben: \[ \frac{1}{R}=\frac{1}{\sqrt{\lambda^2+\mu^2}}\left[\frac{\left\{v''+ \frac{d}{ds}\left(\frac{u}{\varrho}\right)\right\}\lambda-\left\{u''-\frac{d}{ds} \left(\frac{v}{\varrho}\right)\right\}\mu}{\lambda^2+\mu^2}+\frac{1}{\varrho}\right], \] wo \(Q\) der Krümmungsradius der ersten Kurve in \(P\) ist, \(\lambda=1+u'-v/\varrho\), \(\mu=v'+u/\varrho\); die Akzente an \(u\) und \(v\) bezeichnen Differentialquotienten nach \(s\). Von dieser Formel werden mehrere Anwendungen gemacht, die sich besonders auf Formeln beziehen, die in englischen Schriften erschienen sind.