Curvature of curves defined by conjugate functions. (Q1489918)

Es seien \(z=x+iy\) und \(w=i+iv\) zwei durch die Relation \(z=f(w)\) zusammenhängende komplexe Variabeln (oder durch die gleichwertige \(w=f^{-1}(z)=g(z)\)). Durch Gleichsetzung der reellen und der imaginären Teile folgt: \[ (I)\quad x=f_1(u,v), y=f_2(u,v),\qquad (II)\quad u=g_1(x,y), v+g_2(x,y), \] von denen das eine Gleichungspaar aus dem anderen sich herleiten läßt. Wenn \(u\) eine Konstante ist und \(v\) aus (I) eliminiert wird, so erhält man eine Beziehung \(f_0(x,y,u)=0\), und durch Auflösung dieser Gleichung nach \(u\) würde man die erste der Gleichungen (II) erhalten. Jede der Gleichungen \(f_0(x,y,u)=0\) oder \(u=g_1(x,y)\) kann als Gleichung einer Kurvenfamilie mit \(u\) als konstantem Parameter angenommen werden; diese Kurven mögen Kurven \(u\) heißen. Entsprechend gibt es eine Familie von Kurven \(v\). In der Note werden einfache Ausdrücke für das Lot vom Ursprunge auf die Tangente und für die Krümmung der Kurven \(u\) und \(v\) gefunden und dann von ihnen Anwendungen auf einzelne Fälle gemacht.