Über Dreiecks- und Viereckssysteme als Träger der Kurve dritter Ordnung. (Q1489969)

Die Arbeit enthält eine eigentümliche und interessante Verallgemeinerung der Geometrie auf einer \(C_3\) mit Hülfe von einbeschriebenen Dreiecken. \(ABC\) sei ein solches, \(K\) ein beliebiger Punkt auf \(C_3\); man projiziere das Dreieck \(ABC\) von \(K\) aus in das der \(C_3\) einbeschriebene Dreieck \(A_k^\prime B_k^prime C_k^\prime\) und dieses wieder von einem Wendepunkt aus in das Dreieck \(A_kB_kC_k\). Läßt man \(K\) auf \(C_3\) wandern, so erhält man ein System von Dreiecken oder, wie der Verf. sagt, ``Tripelpunkten'', welche sich mit den Punkten der \(C_3\) in eine vollständige Analogie bringen lassen. Die Geometrie dieser Tripelpunkte wird mit Hülfe der bekannten Parameterdarstellung durch elliptische Funktionen untersucht. Sind \(a, b, c\). Je die Parameter der Punkte \(A, B, C, K\), so sind diejenigen der Ecken des ``Tripelpunktes \(k\)'' bzw. \((a+k), (b+k), (c+k)\). Aus zwei Tripelpunkten \(k_1\) und \(k_2\) kann man eindeutig einen dritten, dem System angehörigen Tripelpunkt \(k_3=-(a+b+c+k_1+k_2)\) bestimmen, und man sagt, die drei Tripelpunkte \(k_1,k+2,k_3\) liegen auf einer ``Tripelgeraden''; der Tangentialpunkt von \(k_1\) ist durch den Parameter \(-(a+b+c+2k_1)\) definiert, und ein Tripelwendepunkt ist ein solcher, dessen drei Eckpunkte auf einer Geraden liegen. Es gibt 9 solcher Tripelwendepunkte, die eine der gewöhnlichen Wendepunktskonfiguration völlig analoge Konfiguration bilden. Aus diesen Definitionen leitet der Verf. eine Reihe von Sätzen für Tripelpunkte ab, die den bekannten Sätzen aus der Geometrie auf einer \(C_3\) entsprechen. Hat man \(3n\) Tripelpunkte \(k_1,\dots,k_{3n}\), für welche die Beziehung \(\sum_{i=1}^{3n}\left(\frac{a+b+c}{3}+k_i\right)\equiv 0\) gilt, so ergibt die Anwendung des \textit{Abel}schen Theorems, daß die Eckpunkte der zu den \(C_{3n}\) Parametern gehörigen Tripelpunkte die Schnittpunkte einer \(C_{3n}\) mit der \(C_3\) sind, so daß unter einer ``Tripel-\(C_n\)'' eine gewöhnliche \(C_{3n}\) zu verstehen ist; es werden dann besonders die Schnittpunktsätze für eine \(C_3\) mit einem Kegelschnitt verallgemeinert, wobei man auf Schnittpunktsatze für eine \(C_3\) mit einer \(C_6\) kommt. Die Parameterdarstellungen werden einfacher und die Analogie mit der Theorie der Punkte auf einer \(C_3\) noch auffallender, wenn man als Ausgangsdreieck \(ABC\) einen Tripelwendepunkt wählt, für den \(a+b+c\equiv 0\) ist. Der Verf. untersucht sodann die Tripelgeraden und gelangt dabei zur Konstruktion eines Tripelpunktsystems zweiten Grades, das nebst den zugehörigen Verallgemeinerungen in leicht ersichtlicher Weise aus dem einfachen Tripelpunktsystem hervorgeht; er zeigt ferner, wie diese Tripelpunkttheorie sich zur Ableitung von Sätzen der gewöhnlichen Punkttheorie verwerten läßt. Endlich wird gezeigt, daß und auf welche Weise sich ein der \(C_3\) ein- und umbeschriebenes \(n\)-Eck zur Bildung eines polygonalen Punktsystems verwenden läßt, und daß diese Vieleckssysteme eine ähnliche Behandlung zulassen wie die Dreieckssysteme.