Zur Transformation von Raumkurven. (Q1490029)

Im ersten Teile der Arbeit werden systematisch die Beziehungen untersucht, die zwischen zwei Raumkurven bestehen, bei denen Tangenten oder Hauptnormalen oder Binormalen einander parallel oder zueinander senkrecht sind. Es ergeben sich dabei einfache Sätze, die zum Teil in der Literatur bekannt sind. Im zweiten Teile wird die Transformation durch parallele Tangenten auf die Theorie der Loxodromen angewandt. Die Bestimmung der endlichen Gleichungen der Loxodromen, die mit einer gegebenen Kurve in entsprechenden Punkten parallele Tangenten haben, gelingt durch Quadraturen. Die Bestimmung der loxodromischen Schraubenlinien führt auf elliptische Integrale. Auch die Loxodromen konstanter Krümmung und die Loxodromen, die zwei verschiedenen Rotationsflächen angehören können, werden untersucht. Der dritte Teil der Arbeit handelt zunächst von der Transformation der gewöhnlichen Schraubenlinien durch orthogonale Tangenten. Man erhält so die geodätischen Linien auf der Tangentialfläche der Schraubenlinie. Der Verf. untersucht nun von diesen besonders die Kurven konstanter Krümmung 1, und er findet speziell eine Klasse algebraischer Kurven konstanter Krümmung, wenn der Winkel zwischen Hauptnormale der Schraubenlinie und Tangente der gefundenen Kurve im rationalen Verhältnis zum Schraubungswinkel steht. Dieses Ergebnis ist von ganz besonderem Werte, weil außer dem Kreise bisher noch keine algebraischen Kurven konstanter Krümmung bekannt waren. Sie liegen übrigens stets auf Rotationsflächen zweiten Grades. Betreffs ihrer Erzeugungsweise und ihrer sonstigen geometrischen Eigenschaften sei auf die Originalarbeit verwiesen. Der vierte Teil der Arbeit endlich enthält allgemeinere Untersuchungen über die geodätischen Linien auf den Tangentenflächen der Schraubenlinien.