Sulla deformazione delle quadriche generali. (Q1490059)

\textit{Darboux} hat folgenden, für die Deformationstheorie der Flächen zweiten Grades wie für die Theorie der Isothermflächen gleich wichtigen Satz bewiesen: Wenn eine Fläche zweiten Grades auf einer ihrer Biegungsflächen rollt, so beschreiben die acht Schnittpunkte der erzeugenden isotropen Geraden mit der gemeinschaftlichen Tangentialebene acht isotherme Flächen, die aufeinander konform abgebildet sind. Zwei von ihnen sind die beiden Schalen einer Enveloppe von \(\infty^2\) Kugeln, und die Normalen in den beiden entsprechenden Berührungspunkten, nämlich zwei Kugelradien, liegen in der Tangentialebene, die die Fläche zweiten Grades und ihre Biegungsfläche gemeinsam haben. In der vorliegenden Arbeit ergänzt der Verf. den \textit{Darboux}schen Satz, indem er folgende Umkehrung beweist: Wenn die beiden Schalen \((P)\) und \((P')\) einer Enveloppe von \(\infty^2\) Kugeln durch Zuordnung entsprechender Berührungspunkte \(P, P'\) auf einander konform abgebildet sind, und wenn diese Eigenschaft bestehen bleibt, wie auch die Fläche \(S\) verbogen werden mag, die von der Ebene durch die beiden Berührungspunkte und den Kugelmittelpunkt eingehüllt wird dann ist jene Fläche die Biegungsfläche einer Fläche zweiten Grades oder -- in einem Ausnahmefall -- einer Komplementarfläche zu einer Biegungsfläche einer Rotationsfläche zweiten Grades von positiver Krümmung (Komplementarfläche der Biegungsfläche einer Rotationsfläche ist der geometrische Ort der Mittelpunkte der geodätischen Krümmungen der Biegungskurven der Parallelkreise). Bei jeder Biegung von \(S\) entsprechen die Asymptotenkurven den Minimallinien auf \((P)\) und \((P')\); ferner bleiben dabei die mittleren Krümmungen von \((P)\) und \((P')\) ungeändert. Die letztere Eigenschaft ist charakteristisch: Wenn bei jeder Biegung der Fläche \(S\) die mittleren Krümmungen der beiden Enveloppenschalen \((P)\), \((P')\) ungeändert bleiben, sind diese konform auf einander abgebildet. Wegen der weiteren interessanten Ergebnisse sei auf das Original verwiesen.