Memoir on hyperelliptic surfaces. Part I. (Q1490111)

Dieser erste Teil der von der Pariser Akademie im Jahre 1907 mit dem Preis gekrönten Arbeit der beiden Verf. zerfällt in 7 Kapitel. Das erste Kapitel gibt die Definition der hyperelliptischen Fläche \(\varPhi\) sowie ihres Ranges \(r\) und ihres Divisors \(\delta\) und beleuchtet die Rolle, welche eine gewisse von \textit{Jacobi} konstruierte Fläche \(F\) in der Theorie der hyperelliptischen Flächen spielt, durch den Satz: Jede Fläche \(\varPhi\) vom Divisor \(\delta\) und vom Rang \(r\) entspricht einer Involution von der Ordnung \(r\delta\), die einer \textit{Jacobi}schen Fläche angehört. Das zweite Kapitel handelt von den hyperelliptischen Flächen vom Rang 1 (\textit{Picard}sche Flächen). Die von \textit{Picard} und \textit{Humbert} entwickelte Theorie wird vom geometrischen Standpunkt aus dargestellt, und den bekannten Sätzen werden einige neue an die Seite gestellt. Die von den Verf. befolgte Methode benutzt die {ıt Jacobi}sche Fläche als Ausgangspunkt zur Konstruktion aller \textit{Picard}schen Flächen und stützt sich auf den oben genannten Satz. Dadurch werden die charakteristischen Eigenschaften dieser Flächen in sehr einfacher Weise abgeleitet, und endlich werden die folgenden, birational verschiedenen Typen von \textit{Picard}schen Flächen aufgestellt: 1. für \(\delta>3\) eine \(\varPhi_{2\delta}\) im Raum von \(\delta-1\) Dimensionen; 2. für \(\delta=3\) eine \(\varPhi_{24}\) im 11-dimensionalen Raum; 3. für \(\delta=2\) eine \(\varPhi_{16}\) im 7-dimensionalen Raum; und 4. für \(\delta=1\) eine \textit{Jacobi}sche \(F_{18}\) im Raum von 9 Dimensionen. Das dritte Kapitel enthält die Klassifikation der Involutionen, die zu einer \textit{Jacobi}schen Fläche gehören, und zwar wird diese in zweierlei Hinsicht vorgenommen: 1. nach der Zahl der Transformationen, welche die Involutionen ungeändert lassen, und 2. nach der Zahl ihrer Koinzidenzen. Die eingehende Diskussion ergibt dieselbe Einteilung, welche die allgemeine Theorie der algebraischen Flächen a priori liefert, nämlich im wesentlichen die drei Fälle, welche durch die Werte \(p_g-p_a=2,1,0\) charakterisiert sind, wo \(p_g\) das geometrische und \(p_a\) das arithmetische Geschlecht der Fläche \(\varPhi\) bedeutet, welche das Bild der besagten Involution ist. Das vierte Kapitel enthält den Beweis des folgenden, schon in Rom. Acc. L. Rend. \(16_1\), 443-453 (F. d. M. 38, 650, 1907, JFM 38.0650.03) aufgestellten Fundamentalsatzes: Jede hyperelliptische Fläche vom Rang \(r > 1\) und vom Divisor \(\delta\) entspricht einer Involution, die durch eine Gruppe von \(r\) birationalen Transformationen auf einer \textit{Picard}schen Fläche von demselben Divisor erzeugt wird. Das fünfte Kapitel untersucht die Flächen \(\varPhi\) vom Rang \(r > 1\), welche von drei willkürlichen Moduln abhängen, und zeigt, daß sie stets regulär sind und auf solche vom Rang 2 zurückgeführt werden können. Für \(\delta=1\) erhält man die \textit{Kummer}schen Flächen; für \(\delta=1\) kann \(\varPhi\) in eine verallgemeinerte \textit{Kummer}sche Fläche von der Ordnung \(4\delta\) im Raum von \(2\delta+1\) Dimensionen transformiert werden. Dieselbe besitzt 16 konische Knotenpunkte und 16 singuläre Hyperebenen, welche sie je längs einer rationalen Normalkurve von der Ordnung \(2\delta\) berühren. Die Frage, ob eine gegebene Fläche hyperelliptisch vom Rang \(r > 1\) ist, läßt sich auf die arithmetische Diskussion eines Systems von quadratischen Gleichungen zurückführen. Kapitel VI behandelt die irregulären hyperelliptischen Flächen vom Rang \(r > 1\). Jede solche Fläche ist elliptisch und hat die Geschlechtszahlen \(p_g=0\) und \(p_a=1\). Es wird gezeigt,daß diese Flächen den Rangzahlen 2,3,4,6 entsprechen, und daß sie nach den Werten des \(i\)-fachen Geschlechts klassifiziert werden können. Der wichtigste Satz dieses Kapitels ist der folgende: Jede Fläche vom arithmetischen Geschlecht \(p_a=-1\), deren geometrisches und deren \(i\)-faches Geschlecht 0 oder 1 ist, ist eine hyperelliptische Fläche. Die verschiedenen daraus sich ergebenden Flächenfamilien werden eingehend diskutiert, und für jede wird der Wert von \(\delta\) bestimmt. Das siebente Kapitel handelt von denjenigen hyperelliptischen Flächen vom Rang \(r>1\) und vom Divisor \(\delta=1\), welche eine Parameterdarstellung durch irreduzible Thetafunktionen zulassen. Das ist für jede Fläche \(\varPhi\) der Fall, wenn sie das Bild einer solchen Involution auf der \textit{Jacobi}schen Fläche ist, die durch die Transformationen einer gewissen nach \textit{Hermite} benannten Gruppe erzeugt wird. Die Klassifikation dieser Flächen wird zurückgeführt auf die Untersuchung gewisser Kurven vom Geschlecht 2, welche eine Gruppe von Transformationen in sich besitzen. Aus der Diskussion dieser Gruppen ergibt sich, daß die genannten Flächen regulär sind, daß alle ihre Geschlechtszahlen \(=1\) sind (d. h. daß sie eine kanonische Kurve von der Ordnung Null besitzen), und daß sie in 11 birational verschiedene Familien zerfallen; diese sind bis auf eine (nämlich die \(\varPhi_{24}\), im 13-dimensionalen Raum) in dem Referat F. d. M. 38, 650, 1907, JFM 38.0650.03 angeführt. In einem zweiten Teil der Abhandlung sollen diese Typen weiter untersucht werden (Bericht im nächsten Band).