Fondamenti per la geometria sulle varietà algebriche. (Q1490188)

In der Einleitung dieser wichtigen Abhandlung, wie schon in der vorläufigen Mitteilung über sie (F. d. M. 38, 649, 1907, JFM 38.0649.03), bemerkt der Verf. mit Recht, daß die vornehmsten Eigenschaften der algebraischen Funktionen zweier Veränderlichen nicht als Verallgemeinerungen derjenigen einer Veränderlichen erhalten werden, sondern durch ganz neue Begriffe und Methoden. Dieselbe Erscheinung scheint sich zu wiederholen, wenn man zu den algebraischen Funktionen von drei oder mehr Variabeln fortschreitet, d. h. wenn man die drei oder mehrdimensionalen Mannigfaltigkeiten untersuchen will. Die vorliegende Abhandlung (welche größtenteils von dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten handelt) stellt einen ersten Schritt in dieser Richtung dar. Man findet in ihr nicht nur positive Resultate, sondern es werden auch die Punkte bezeichnet, wo die Theorie Lücken oder Unvollkommenheiten darbietet. Nach einigen allgemeinen Betrachtungen über die allgemeinen dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten beweist der Verf. die Fundamentalrelation \[ (1)\quad 2P_a=\Omega_0-\Omega_1+\Omega_2+4, \] die zwischen dem arithmetischen Geschlecht \(P_a\) einer Mannigfaltigkeit und den Charakteren (Grad \(\Omega_0\), Liniengeschlecht \(\Omega_1\), arithmetisches Geschlecht \(\Omega_2\)) ihres kanonischen Systems besteht. Sodann wendet er sich zur Aufstellung des \textit{Riemann-Roch}schen Satzes für eine der genannten Mannigfaltigkeiten und zum Beweise der Invarianz des arithmetischen Geschlechts. Die Untersuchung der Doppelintegrale erster Gattung, welche zu einer jener Mannigfaltigkeiten gehören, und die Anwendung der erhaltenen Resultate auf einige Beispiele schließen die \textit{Severi}schen Untersuchungen über die algebraischen dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten. Der übrige Teil der Abhandlung enthält den Ausdruck einiger Fundamentalsätze, welche die höheren Mannigfaltigkeiten betreffen, deren strenger Beweis eine schöne Aufgabe für die künftigen Mathematiker ist. Es sei zum Schluß bemerkt, daß die vom Verf. angewandte Untersuchungsmethode derjenigen ähnlich ist, welche die neuere italienische Schule bei der Erforschung der algebraischen Kurven und Flächen benutzt hat.