Ein Kriterium für die Stabilität der Bewegung eines materiellen Punktes in der Ebene und dessen Zusammenhang mit dem Prinzip der kleinsten Wirkung. (Q1490333)

Folgender Satz wird bewiesen: ``Bewegt sich ein materieller Punkt mit der vorgeschriebenen Energie \(h\) unter dem Einflüsse von Kräften, die das Potential \(V(x,y)\) besitzen, in der Ebene, so ist die Bewegung sicher weder oszillatorisch stabil, noch absolut stabil, wenn die kinetische Krümmung \(k(x,y)\) des Kraftfeldes. wo \[ k(x,y)=\frac{1}{2(h-V)^2}\left(\frac{\partial^2V}{\partial x^2}+\frac{\partial^2V}{\partial y^2}\right)=\frac{1}{2(h-V)^3} \left[\left(\frac{\partial V}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial V}{\partial y}\right)^2\right], \] längs der ganzen Bahn oder wenigstens von einem bestimmten Punkte an immer negativ oder Null ist. Wenn hingegen von einem bestimmten Punkte einer Bahn an die kinetische Krümmung oberhalb einer positiven Zahl bleibt und auch kein Punkt \(h- V = 0\) auf der Bahnkurve liegt, ist die Bewegung sicher oszillatorisch stabil. Dieser Satz ermöglicht in einer großen Anzahl von Fällen eine sehr einfache Entscheidung über die Stabilität der Bewegung. Bei seiner Anwendung auf die Kreisbewegung unter dem Einflusse der Zentralkraft \(\mu r^n\) ergibt sich, daß diese Bewegung für \(n>-3\) oszillatorisch stabil, für \(n\overset{=}<-3\) instabil ist. Oszillatorisch stabil nennt der Verf. eine Bewegung, die bei \textit{Thomson} und \textit{Tait} (Treatise on Natural Philosophy, Art. 346) schlechthin stabil heißt, während der Begriff der ``absoluten Stabilität'' enger gefaßt ist.