The influence of viscosity and capillarity on waves of finite amplitude. (Q1490399)

Drei Probleme werden in der Arbeit behandelt; das erste ist nach Ansicht des Verf. das wichtigste. 1. Man hat es für unmöglich gehalten, über eine zweite Annäherung bei der Abwägung der Wirkung der Zähigkeit auf einen Zug endlicher Wellen hinauszugehen, indem man das Verhältnis der Amplitude zu der Wellenlänge als klein ansah. Bis zu dieser Ordnung sind die Fortpflanzungsgeschwindigkeit und das Maß des Schwindens der Welle davon unberührt. Das Profil der Welle zeigt sich im vorderen Abhang steiler als im hinteren. Bei Abwesenheit von Zähigkeit wird das Profil durch die Gleichung \(\eta=\beta\cos kx+\frac12 \,k\beta^2\cos 2kx\) gegeben. Bei Zähigkeit wird das Profil in einem beliebigen Augenblick durch \(\eta =\beta \cos x +\frac12\,k\beta^2\cos 2kx-k^2\{\nu^2/4gk\}^{\frac14}\beta^2 \sin 2kx\) gegeben. Das interessanteste Resultat ist die Berechnung der Verrückung einer Partikel längs der Oberfläche vor dem Absterben der Welle. Es ist auch möglich, den Fluß quer durch eine vertikale Ebene von der Breite 1 zu berechnen. Diese Größen sind etwas groß für Wasserwellen von großer Wellenlänge und angemessener Amplitude. So ist in dem Falle von Wellen von der Länge 100 cm und anfänglicher Amplitude 1 cm der Gesamtfluß durch eine Vertikalebene von der Breite 1 gleich 22\,806 ccm, und die Verrückung einer Partikel längs der Oberfläche 2864 cm. In einem wirklichen Falle würde die Verrückung viel kleiner sein als Folge des größeren Schwindungsmaßes, dessen Ursache in der Berührung von Luft und Wasser liegt. Eine hypothetische Berechnung mit Berücksichtigung dieses Umstandes befindet sich am Ende dieses Abschnittes. Der hohe Betrag dieser Größen hängt mit der Tatsache zusammen, daß sie bei Vernachlässigung der Zähigkeit unendlich groß werden, wie \textit{Stokes} gezeigt hat. 2. Der zweite Abschnitt beschäftigt sich mit der Wirkung der Kapillarität auf einen Zug endlicher Wellen. Wenn die Wellenlänge groß ist, wird die Fortpflanzungsgeschwindigkeit gegeben durch \(c^2=(g/k+T'k)(1+k^2\beta^2)\), wo \(y =\beta\cos kx\) die erste Annäherung an die Wellenform ist. Das Profil bleibt unberührt. Wenn die Wellenlänge klein ist, wird die Geschwindigkeit gegeben durch \(c^2 = (g/k + T'k)(1+\frac14\,k^2\beta^2)\). Die Amplitude der sekundären Welle ist \(-\frac14\,k\beta^2\) statt \(\frac12\,k\beta^2\). Die Welle hat also tieferes Tal als Berg. Das Minimum der Wellengeschwindigkeit bis zu einer dritten Ordnung ist \(2\sqrt{gT'} (1- g\beta^2/2T')\) statt \(2\sqrt{gT'}\). 3. \textit{Scott Russell} hat herausgefunden, daß nur Hebungswellen wie Einzelwellen fortschreiten, daß dagegen eine Senkungswelle in eine Anzahl kurzer Wellen zerfällt. In dem dritten Abschnitte wird gezeigt, daß bei Berücksichtigung der Kapillarität -- vorausgesetzt, daß die Tiefe kleiner als \(\frac12\) cm ist -- nur Senkungswellen fortschreiten können. Es sind Anzeichen vorhanden, daß, wenn eine höhere Ordnung der Annäherung erreichbar wäre, kurze Senkungswellen bei einer Tiefe größer als \(\frac12\) cm fortschreiten dürften, und daß bei einer Tiefe kleiner als \(\frac12\) cm Hebungswellen sehr kurzer Wellenlänge ebenfalls fortschreiten dürften.