Zur Theorie des logarithmischen Potentials. Aufsatz I. (Q1490463)

In Erweiterung der bisher behandelten Randwertaufgaben der Potentialtheorie werden hier solche mit gemischten Bedingungen untersucht. Es handelt sich dabei darum, für ein von einer geschlossenen Kurve \(s\) begrenztes (inneres) Gebiet \(\Im\) eine Potentialfunktion \({\mathfrak U}\) zu finden, die auf einem Teile \(s_1\) der Randkurve \(s\) der Bedingung \({\mathfrak U} ={\mathfrak F}_1\), auf dem übrigen Teil \(s_2\) von \(s\) dagegen der Bedingung \[ \frac{d{\mathfrak U}}{dn}={\mathfrak F}_2 \] genügt; dabei bezeichnet \(n\) die innere Normale von \(s\), \({\mathfrak F}_1\) und \({\mathfrak F}_2\) zwei willkürlich vorgeschriebene Funktionen. Die Aufgabe läßt sich, wenn man die Lösung der zweiten Randwertaufgabe kennt, allgemein darauf reduzieren, eine Funktion \({\mathfrak V}\) zu bestimmen, für die längs \(s_2\) \[ \frac{d{\mathfrak V}}{dn}={\mathfrak K} \] ist, wo \({\mathfrak K}\) eine gegebene Konstante bezeichnet, während \({\mathfrak V}\) längs \(s_1\) einer analogen Bedingung wie oben \(\mathfrak U\) genügt. Weiter wird gezeigt, daß, wenn die Kurve \(s\) ein Kreis ist, die Bestimmung von \({\mathfrak V}\) auf die Lösung eines gewissen Induktionsproblems hinauskommt, und zwar auf die Ermittelung der elektrischen Verteilung in einem Kreise \(s\), von dem der Teil \(s_1\) leitend, der Teil \(s_2\) nichtleitend ist, unter der Wirkung elektrischer Massen von gegebenem Potential. Natürlich ist dabei, wie überall beim logarithmischen Potential, das \textit{Coulomb}sche Gesetz durch das Gesetz \(\frac1r\) zu ersetzen. Die Behandlung dieses Induktionsproblems behält sich der Verf. für einen zweiten Aufsatz vor und teilt nur einige Resultate, zu denen er gelangt ist, mit. Zum Schluß wird die ursprüngliche allgemeine Randwertaufgabe für beliebige Kurven \(s\) wieder aufgenommen und gezeigt, daß sie sich zurückführen läßt auf die Bestimmung einer der \textit{Green}schen Funktion analogen charakteristischen Funktion \(\mathfrak G\), die den Bedingungen genügt: \[ {\mathfrak G} =T\text{ auf }s_1,\quad \frac{d{\mathfrak G}}{dn}=\frac{dT}{dn}\text{ auf }s_2. \] Dabei bezeichnet \(T\) den Logarithmus des reziproken Abstandes eines Punktes von \(s\) von einem festen inneren Punkte.