Sulle equazioni integro-differenziali della teoria dell'elasticità. (Q1490538)

Zunächst knüpft der Verf. an den Aufsatz von \textit{Picard} an: La mécanique classique et ses approximations successives (Rivista di Scienza 1. Bologna 1907), wo die Mechanik der Vererbung und die Mechanik der Nichtvererbung unterschieden sind. Die letztere betrachtet den Fall, bei welchem die Zukunft eines Systems in einem gegebenen Zeitpunkte nur von seinem gegenwärtigen Zustande oder höchstens noch von dem unendlich nahen vorangehenden Zustande abhängt. Zu der Mechanik der Nichtvererbung gehört das Fundamentalproblem der Astronomie. Die seit langem durchforschten Fragen der Hysteresis, der elastischen Nachwirkung fallen unter die Vererbungsmechanik oder besser unter die Vererbungsphysik. Unter Verweisung auf seine früheren funktionentheoretischen Arbeiten aus den Jahren 1887 und 1896, ferner auf seine jüngsten Veröffentlichungen (vgl. S. 400 dieses Bandes(JFM 40.0399.02)) führt der Verf. aus, daß weder die Theorie der Differentialgleichungen, noch die der Integralgleichungen den Fragen der Vererbungsphysik völlig gerecht werden könne, sondern daß hierzu andere Gleichungen von einem ``gemischten Typus'' notwendig seien, die er deshalb in seinen jüngsten Veröffentlichungen als ``Integro-Differentialgleichungen'' bezeichnet habe. So habe er in einer dieser Noten die Relationen zwischen den Integro-Differentialgleichungen und der Elektrodynamik betrachtet. Sowohl in jener Note, als auch in der vorliegenden beschränke er sich auf den einfachsten Fall der Vererbung, welche mit dem Namen ``lineare Vererbung'' bezeichnet werden könne; es wird nämlich angenommen, daß die Elemente, welche die Vorgeschichte des Systems kennzeichnen, in den Formeln linear vorkommen. Die genauere Durchführung dieser Gedanken, die mit den früheren Veröffentlichungen des Verf. eng zusammenhängen, an dem Problem der ``linearen elastischen Vererbung'' (elastischen Nachwirkung) bildet den zweiten Teil der Abhandlung. Als Relationen, welche die Bedingungen der Vererbung in jedem Zeitpunkte definieren, ergeben sich die Gleichungen: \[ \text{(III)}\qquad t_{is}(t)=\sum_{hk} a_{is| hk}\gamma_{hk}(t)+\int^t_{t_0}\sum_{hk}\varphi_{is| hk}\gamma_{hk}(t,\tau)\gamma_{hk}(\tau)d\tau, \] wo die \(\gamma_{hk}\) die Charakteristiken der Deformation bilden. Die Summen sind auf alle Kombinationen der \(h\) und \(k\) \((h,k=1, 2,\dots,6)\) mit Wiederholung auszudehnen. Mit \(t_0\) ist derjenige Zeitpunkt bezeichnet, vor welchem die Vererbung zu vernachlässigen ist. Die Koeffizienten \(a_{is| hk}\gamma_{hk}\) sind im allgemeinen Funktionen der Koordinaten \(x, y, z\) der Punkte des elastischen Körpers, ebenso auch die \(\varphi_{is| hk}\), diese aber auch noch von den Variabeln \(t\) und \(r\), wie in der Formel angedeutet ist; nur im Falle der Homogeneität sind sie unabhängig von den Koordinaten. Die Formel (III) tritt zu den gewöhnlichen Gleichungen der Elastizitätstheorie hinzu, welche als Gleichungssysteme (I) und (II) bezeichnet sind. Diesen drei Systemen treten die ``adjungierten'' Integro-Differentialgleichungen zur Seite, von denen wir nur hersetzen: \[ \text{(III}')\qquad t_{is}'(t)= \sum_{hk} a_{hk| is}\gamma_{hk}'(t) + \int^T_{t_0}\sum_{hk}\varphi_{hk| is}(\tau,t)\gamma_{hk}'(\tau)d\tau, \] weil die späteren Entwicklungen des Verfassers sich besonders an diese Gleichungen anschließen. Aus den allgemeinen Gleichungen wird zuletzt der Schluß gezogen: Wenn die Massenkräfte und die Verrückungen an der Oberfläche (oder die Spannungen der Oberfläche) während eines gewissen Zeitraumes bekannt sind, so ist die Deformation des Körpers in demselben Zeitraume ebenfalls bestimmt. Anwendungen der Resultate dieser Note werden in Aussicht gestellt.