Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. I. (Q1491327)

Der Verf. setzt sich als Zweck vor, den Mengenbegriff derart zu beschränken, daß alle in der Mengenlehre hervorgehobenen Paradoxien und Antinomien ausgeschlossen werden. Dazu dienen die folgenden sieben Axiome oder Postulate: 1. Axiom der Bestimmtheit. Ist jedes Element einer Menge \(M.\) gleichzeitig Element von \(N\) und umgekehrt, so ist \(M = N\). Oder kürzer: Jede enge ist durch ihre Elemente bestimmt. 2. Axiom der Elementarmengen. Es gibt eine Menge (die Nullmenge 0), welche gar keine Elemente enthält. Ist \(a\) irgend ein Ding des Bereiches von Objekten, unter denen die Mengen einen Teil bilden, so existiert eine Menge: \{ \(a\) \}, welche \(a\) und nur \(a\) als Element enthält; sind \(a, b\) irgend zwei Dinge des Bereiches, so existiert eine Menge \{\(a, b\)\} , welche \(a\) und \(b\), aber kein weiteres Element, enthält. 3. Axiom der Aussonderung. Ist eine Aussage ``definit'' für alle Elemente einer Menge M; worunter man verstehen soll, daß es sich auf Grund der Axiome entscheiden läßt, ob diese Aussage für jedes einzelne Element gültig ist oder nicht, so besitzt immer \(M\) eine Untermenge, welche alle diejenigen Elemente von \(M\), für welche die Aussage wahr ist, und nur solche, als Elemente enthält. 4. Axiom der Potenzmenge. Jeder Menge \(T\) entspricht eine zweite Menge \({\mathfrak U}T\) (die ``Potenzmenge'' von \(P\)), welche alle Untermengen von \(T\) und nur solche als Elemente enthält. 5. Axiom der Vereinigung. Jeder Menge \(T\) entspricht eine Menge \({\mathfrak S}T\) (die ``Vereinigungsmenge'' von ``\(T\)''), welche alle Elemente der Elemente von ``\(T\)'' und nur solche als Elemente enthält. 6. Axiom der Auswahl. Ist \(T\) eine Menge, deren sämtliche Elemente von 0 verschiedene, zu je zwei elementenfremde Mengen sind, so enthält \({\mathfrak S}T\) mindestens eine Untermenge, welche mit jedem Elemente von \(T\) ein und nur ein Element gemein hat. Mit anderen Worten: Es ist immer möglich, aus jedem Elemente von \(T\) ein einzelnes Element auszuwählen und alle diese Elemente zu einer Menge zu vereinigen. 7. Axiom des Unendlichen. Der Bereich enthält mindestens eine Menge \(Z\), welche die Nullmenge als Element enthält und mit jedem ihrer Elemente \(a\) auch \(\{a\}\) (folglich auch \(\{\{a\}\}\), \(\{\{\{a\}\}\}\) usw.) als Element enthält. Auf Grund dieser Axiome lassen sich folgende Definitionen aufstellen: Ist \(T\) eine Menge, deren Elemente die Mengen \(M, N, R,\dots\) sein mögen, so heißt \({\mathfrak S}T\) die ``Summe'' der Mengen \(M, N, R,\dots\) Man schreibt: \[ {\mathfrak S}T = M + N + R + \cdots \] Ist \(P\) eine Menge, deren Elemente die untereinander elementenfremden Mengen \(M, N, R,\dots\) sein mögen, so heißt diejenige Menge \({\mathfrak P}T\), deren Elemente alle Untermengen von \({\mathfrak S}T\) sind, die mit \(M, N, R,\dots\) je ein und nur ein Element gemein haben, das ``Produkt'' der Mengen \(M, N, R,\dots\) Man schreibt: \[ {\mathfrak P}T = MNR \dots \] Zwei elementenfremde Mengen heißen ``unmittelbar'' äquivalent, wenn ihr Produkt \(MN\) mindestens eine solche Untermenge \(V\) besitzt, daß jedes Element von \(M + N\) in einem und nur einem Elemente von \(V\) als Element vorkommt. Jede Menge \(V\) von dieser Beschaffenheit heißt eine ``Abbildung'' von \(M\) auf \(N\). Zwei Mengen heißen ``mittelbar äquivalent'', wenn es eine dritte Menge gibt, welche ihnen beiden elementenfremd und unmittelbar äquivalent ist. Die Menge \(0, \{0\}, \{\{0\}\},\dots\) heißt die ``Zahlenreihe''. Jede der Zahlenreihe äquivalente Menge heißt ``abzählbar'' . Man kann ferner alle Hauptsätze der Äquivalenztheorie beweisen, unter welchen die folgenden hervorgehoben werden mögen: Ist jede von zwei Mengen einer Untermenge der anderen äquivalent, so sind die zwei Mengen äquivalent. Jede Menge ist von kleinerer Mächtigkeit als die Menge ihrer Untermengen (wobei \(M\) ``von kleinerer Mächtigkeit'' als \(N\) ist, wenn \(M\) einer Untermenge von \(N\) äquivalent ist, aber nicht umgekehrt \(N\) einer Untermenge von \(M\)). Ist \(T\) eine Menge, deren Elemente \(M, N\) sämtlich von 0 verschiedene Mengen \(M, N, \dots\) sind, so ist es stets möglich, jeder der Mengen \(M, N,\dots\) eines ihrer Elemente \(m, n,\dots\) eindeutig zuzuordnen. Die Zahlenreihe ist eine ``unendliche'' Menge, d. h, sie ist äquivalent einem ihrer Teile; umgekehrt enthält jede unendliche Menge einen abzählbaren Bestandteil.