Grundzüge einer Theorie der geordneten Mengen. (Q1491329)

Die Theorie der einfach geordneten Mengen oder der einfachen Ordnungstypen wird hier systematisch entwickelt. Der Summenbegriff wird auf den Fall einer unendlichen Anzahl von Summanden ausgedehnt; ist nämlich \(A = \{a\}\) eine beliebige geordnete Menge, und entspricht jedem Element \(a\) derselben eine geordnete Menge \(M_a\), die mit keiner der übrigen gemeinsame Elemente hat, so heißt die durch die Festsetzung: \(M_a < M_b\) für \(a < b\) geordnete Vereinigungsmenge \(M = \{M_a\}\) die ``Summe'' der Mengen \(M_a\) über den ``Erzeuger'' \(A\). Auch das Produkt wird in analogem Sinne verallgemeinert. Es ergibt sich, daß jede Menge entweder ``zerstreut'' (d. h. ohne dichte Bestandteile) ist oder sich als eine Summe von zerstreuten Mengen mit dichtem Erzeuger darstellen läßt. Hieraus folgt die Notwendigkeit einer tieferen Untersuchung der dichten geordneten Mengen. Diese Mengen lassen sich nach ``Spezies'' klassifizieren, und es wird bewiesen, daß alle a priori denkbaren Spezies wirklich existieren.