Über die Verteilung der reellen Wurzeln dreier rational abhängigen algebraischen Gleichungen. (Q1491407)

In einer früheren Arbeit (vgl. F. d. M. 33, (1902), S. 103, JFM 33.0103.01) hat der Verf. die Trennung der Wurzeln einer Gleichung \(n\)-ten Grades mit lauter reellen Wurzeln auf die Bestimmung der reellen Wurzeln zweier gewissen Gleichungen \((n-1)\)-ten Grades zurückgeführt. Schwierigkeit machte die entsprechende Aufgabe für den Fall, daß die vorgelegte Gleichung auch imaginäre Wurzeln besitzt. Um auch diesen allgemeinen Fall in befriedigender Weise zu erledigen, untersucht {\textit{Eberhard}} in der vorliegenden Arbeit drei ganze rationale Funktionen \(f_1(z),f_2(z),f_3(z)\), zwischen denen eine Identität besteht: \[ g_1(z){\cdot}f_1(z)+ g_2(z){\cdot}f_2(z)+ g_3(z){\cdot}f_3(z)=0, \] wo \(g_1,g_2,g_3\) auch ganze rationale Funktionen bedeuten, die entweder für alle reellen Werte von \(z\) oder doch für bestimmte Teile des reellen Gebietes ihr Vorzeichen behalten. Die reellen Wurzeln der drei Gleichungen \(f_1(z)=0,f_2(z)=0,f_3(z)=0\) werden ihrer Größe nach zu einer einzigen aufsteigenden Reihe geordnet und die Gesetze ihrer Aufeinanderfolge ausführlich untersucht. Dabei ergibt sich, daß man aus der Anordnung der Wurzeln zweier der Gleichungen \(f_2(z)=0,f_3(z)=0\) Schlüsse auf die Mindestzahl der reellen Wurzeln von \(f_1(z)=0\) und auf ihre Anordnung ziehen kann. Indem {\textit{Eberhard}} dann diese Ergebnisse auf eine beliebige ganze rationale Funktion \(n\)-ten Grades \(f(z)\) und die beiden Funktionen \((n-1)\)-ten Grades \(f_{1,0}(z)\) und \(f_{0,1}(z)\) anwendet, von denen die erste die Ableitung von \(f(z)\) und die zweite durch die Identität \(n{\cdot}f(z)=z{\cdot}f_{1,0}(z)+f_{0,1}(z)\) definiert ist, kann er die in der früheren Arbeit ohne Beweis ausgesprochenen Sätze erschließen, welche es ermöglichen, aus der Gruppierung der reellen Wurzeln von \(f_{1,0}(z)=0\) und \(f_{0,1}(z)=0\) die Anzahl der reellen Wurzeln von \(f(z)=0\) zu folgern.