Sur une méthode d'approximation dans la résolution numérique des équations. (Q1491414)

Wenn in einer Gleichung von der Form \[ x=\varphi(x) \] für alle Werte von \(x\) \[ [\varphi^\prime(x)]<1, \] so nähern sich die durch die Rekursionsformel \(x_n=\varphi(x_{n-1})\) bestimmten Zahlen \(x_0,x_1,x_2,\dots\) einer Wurzel der vorgelegten Gleichung, und wenn insbesondere \[ -1<\varphi^\prime(x)<0, \] so sind die aufeinanderfolgenden Näherungswerte abwechselnd größer und kleiner als die gesuchte Wurzel. Ist nun \(f(x)=0\) eine beliebige Gleichung und ein Intervall \((a\cdots b)\) so abgegrenzt, daß innerhalb desselben 1. die gesuchte Wurzel liegt, 2. \(f^\prime(x)\) nicht verschwindet und 3. zwischen dem größten \((M)\) und dem kleinsten \((m)\) Werte der Ableitung \(f^\prime(x)\), die ohne Beschränkung der Allgemeinheit als positiv vorausgesetzt werden darf, die Ungleichung \(M<2m\) besteht so läßt sich immer eine Zahl \(\alpha\) so bestimmen, daß für die mit \(f(x)=0\) äquivalente Gleichung \[ x=x+ \alpha f(x)= \varphi (x) \] die Beziehung besteht \[ -1< \varphi^\prime (x) <0 \] und infolgedessen die Wurzel in der vorher angegebenen Art näherungsweise gefunden werden kann.