Representations of the general symmetric group as linear groups in finite and infinite fields. (Q1491501)

Der Verf. untersucht die mit der symmetrischen Gruppe in \(q\) Vertauschungsziffern einstufig isomorphen Gruppen \(G_q\) linearer homogener Substitutionen, deren Koeffizienten einem gegebenen endlichen oder unendlichen Zahlkörper \(F\) angehören. Das Hauptziel der Untersuchung ist die Bestimmung der kleinsten in Betracht kommenden Variabelnanzahl \(m\) einer Gruppe \(G_q\). Für den Fall, daß \(F\) den Körper aller Zahlen bedeutet, hat bereits \textit{Wiman} (Math. Ann. 52, 243-270; F. d. M. 30, 126, 1899, JFM 30.0126.01) gefunden, daß \(m\) gleich \(q - 1\) ist, sobald nur \(q > 2\) wird. Der Verf. beweist den allgemeineren Satz: Ist \(q > 4\), so ist \(m\) gleich \(q - 2\) oder gleich \(q - 1\), je nachdem \(F\) einen in \(q\) aufgehenden Modul besitzt oder nicht. Für \(q = 2\) und \(q = 3\) ist in jedem Falle \(m\) gleich 2; für \(q = 4\) ist \(m\) gleich 3.