Groups defined by the orders of two generators and the order of their commutator. (Q1491504)

Der Verf. untersucht die endlichen Gruppen \(G\), die sich durch zwei Elemente \(s_1\) und \(s_2\) von vorgegebenen Ordnungen \(\alpha_1\) und \(\alpha_2\) erzeugen lassen, deren Kommutator \(c = s_1^{-1} s_2^{-1} s_1 s_2\) eine ebenfalls vorgeschriebene Ordnung \(\gamma > 1\) besitzt. Es gibt zunächst einen Fall, wo die Gruppe \(G\) durch die Zahlen \(\alpha_1, \alpha_2\) und \(\gamma\) eindeutig bestimmt wird: ist nämlich \(\alpha_1 = \alpha_2 = 2\) und \(\gamma\) eine gerade Zahl, so wird \(G\) die Diedergruppe der Ordnung \(4\gamma\). Ist ferner \(\alpha_1 = \alpha_2 = 2\) und \(\gamma\) ungerade, so kann die Ordnung \(g\) von \(G\) nur einen der Werte \(2\gamma\) oder \(4\gamma\) haben. Die Annahme \(\alpha_1 = 2, \alpha_2 = 3, \gamma = 2\) führt nur auf zwei Gruppen der Ordnungen 12 und 24. Wählt man \(\alpha_1 = \alpha_2 = 3, \gamma = 2\), so kommen für \(G\) nur vier Gruppen der Ordnungen 12, 36, 144 und 288 in Betracht. Wird \(\gamma = 2\) und eine der Zahlen \(\alpha_1\) und \(\alpha_2\) größer als 3, so kann \(g\) unendlich viele Werte annehmen. Eingehend wird noch der Fall \(\alpha_1 = 2, \alpha_2 = 3, \gamma = 3\) behandelt. In diesem Fall wird die Kommutatorgruppe \(K\) von \(G\) eine Gruppe, deren Kommutatorgruppe \(K_1\) eine \textit{Abel}sche Gruppe ist. Ist \(K_1\) eine zyklische Gruppe, so wird \(g = 162\). Ist ferner \(K\) selbst eine \textit{Abel}sche Gruppe, so kommen für \(g\) nur die Werte 6, 18 und 54 in Betracht. In allen übrigen Fällen ist die Ordnung von \(K\) mindestens gleich 12. Wird diese Ordnung genau gleich 12, so ist \(G\) entweder die symmetrische Gruppe der Ordnung 24 oder das direkte Produkt dieser Gruppe und einer Gruppe der Ordnung 3. Der Index \(j\) der Untergruppe \(K\) von \(G\) ist stets gleich 2 oder gleich 6. Der letztere Fall tritt dann und nur dann ein, wenn \(g\) durch 9 teilbar ist. Für \(j = 2\) lassen sich auch hier unendlich viele Gruppen \(G\) angeben.