On the multiple holomorphs of a group. (Q1491506)

Die zu einer endlichen Gruppe \(K\) der Ordnung \(k\) gehörende holomorphe Gruppe \(H\) läßt sich folgendermaßen definieren: man stelle \(K\) als reguläre Permutationsgruppe in \(k\) Symbolen dar, dann umfaßt \(H\) alle Permutationen in \(k\) Symbolen, die mit \(K\) vertauschbar sind. Unter dem Vielfachheitsgrad \(n\) von \(H\) versteht der Verf. die Anzahl der zu \(K\) ähnlichen invarianten Untergruppen von \(H\); hierbei ist die Untergruppe \(K\) mitzuzählen. Ist \(K\) eine nichtabelsche Gruppe, so ist stets \(n > 1\). Daß\ für eine \textit{Abel}sche Gruppe von ungerader Ordnung \(n = 1\) ist, hat schon \textit{Burnside} (Theory of Groups, S. 238), gezeigt. \textit{Miller} beweist nun einen wesentlich allgemeineren Satz: Ist \(K\) eine \textit{Abel}sche Gruppe, so kann \(n\) nur dann größer als 1 sein, wenn die Ordnung \(k\) von \(K\) durch 8 teilbar ist; ferner kommen für \(n\) nur die Werte \(1, 2\) und \(4\) in Betracht. Genauer wird noch folgendes bewiesen: Es mögen unter den Primzahlpotenzinvarianten von \(K\) genau \(r\) Potenzen von 2 sein, und zwar seien \(\beta_1\) gleich \(2^{\alpha_1}, \beta_2\) gleich \(2^{\alpha_2}\) usw., wobei \(\alpha_1 > \alpha_2 > \dots \) anzunehmen ist. Soll dann \(n = 4\) sein, so muß\ \(\beta_1 = \beta_2 = 1\), \(\alpha_1 > 2\) sein. Ferner wird \(n = 2\) in den \(4\) Fällen \[ \begin{aligned} r & = 2,\;\alpha_1 = 2,\;\alpha_2 = 1;\;r = 1,\;\alpha_1 > 2;\\ \beta_1 & = 1,\;\beta_2 \geqq 2,\;\alpha_1 > 2;\;\beta_1 = 2,\;\alpha_1 > 2.\end{aligned} \] In allen übrigen Fällen ist \(n = 1\).