La théorie générale de \textit{Galois}. (Q1491514)

Ist \(f(x) = 0\) eine algebraische Gleichung ohne mehrfache Wurzeln, deren Koeffizienten einem Zahlkörper \(K\) angehören, so gilt bekanntlich für die \textit{Galois}sche Gruppe \(\mathfrak G\) der Gleichung in bezug auf den Zahlkörper \(K\) der Satz: Jede rationale Funktion der Wurzeln mit Koeffizienten aus \(K\), die bei allen Permutationen von \(\mathfrak G\) dem Werte nach ungeändert bleibt, ist eine Zahl des Körpers \(K\). Dieses Fundamentaltheorem der \textit{Galois}schen Theorie wird gewöhnlich unter Zuhülfenahme einer \textit{Galois}schen Resolvente der Gleichung \(f(x) = 0\) bewiesen. Einen anderen Beweis hat \textit{Söderberg} (Acta Math. {11}, 297-302 angegeben. Der Verf. vereinfacht diesen Beweis und zeigt, wie sich auf Grund des Fundamenthaltheorems die übrigen Hauptsätze der \textit{Galois}schen Theorie entwickeln lassen, ohne daß hierbei die \textit{Galois}schen Resolventen der Gleichung vor den anderen Resolventen als wesentlich bevorzugt erscheinen.