Über Matrizen aus positiven Elementen. (Q1491548)

Bei seinen Untersuchungen über den \textit{Jacobi}schen Kettenbruchalgorithmus und die charakteristischen Wurzeln der Matrizen hat \textit{Perron} (Math. Ann. {64}, 1-76, 248-263) folgenden merkwürdigen Satz erhalten: Sind die Elemente einer Matrix \(A = (a_{\alpha \beta})\) alle reell und positiv, so hat ihre charakteristische Gleichung eine Wurzel \(r\), die reell, positiv, einfach und absolut größer ist als jede andere Wurzel; ist \(s \geqq r\), so sind die Elemente der zu \(sE - A\) adjungierten Matrix alle positiv. Diesen Satz hat \textit{Perron} durch Anwendung von Grenzbetrachtungen bewiesen. In der vorliegenden Arbeit wird der Beweis auf elementarem Wege geführt und der Satz in einigen wesentlichen Punkten vervollständigt. Es wird gezeigt: Ist \(\varphi^\prime (s)\) die Ableitung von \(\varphi (s) = | sE - A |\), und bezeichnet man die zu \(s - a_{\alpha \alpha}\) gehörende Unterdeterminante von \(\varphi (s)\) mit \(A_{\alpha \alpha} (s)\), so hat die Gleichung \(\varphi^\prime (s) = 0\) eine reelle positive Wurzel zwischen der größten und der kleinsten der Größen \(q_1, q_2,\dots, q_n\), falls \(q_\alpha\) die größte Wurzel der Gleichung \(A_{\alpha \alpha} (s) = 0\) ist. Hat die Gleichung \(\varphi (s) = 0\) noch positive Wurzeln, die von \(r\) verschieden sind, so sind diese alle kleiner als die kleinste der Größen \(q_1, q_2,\dots, q_n\). Die Zahl \(r\) liegt ferner zwischen der größten und der kleinsten unter den Zahlen \[ a_\alpha = a_{\alpha_1} + a_{\alpha_2} + \cdots (a=1, 2, \dots). \] Wird von der Matrix \(A\) nur vorausgesetzt, daß ihre Elemente \(a_{\alpha \beta}\) reell und nicht negativ sind, so ist die absolut größte Wurzel \(r\) der Gleichung \(\varphi (s) = 0\) reell und nicht negativ. Nur dann, wenn \(A_{\alpha \alpha} (r)\) für jedes \(\alpha\) gleich Null ist, ist \(r\) eine mehrfache Wurzel. Soll \(r = 0\) sein, so müssen die Größen \(a_{\alpha \alpha}, a_{\alpha \beta} a_{\beta \alpha}, a_{\alpha \beta} a_{\beta \gamma} a_{\gamma \alpha}, \dots\) sämtlich verschwinden.