Solution of a curious problem from the elementary theory of logarithms. (Q1491637)

Der Verf. beweist auf sehr einfache Weise das Theorem: Wenn \(D\) eine positive, ganze nicht quadratische Größe ist, und wenn die Gleichung \(x^2-Dy^2=\varepsilon\), \(\varepsilon=\pm 1\), Lösungen in ganzen Zahlen hat, wo \(y_1\) der kleinste Wert von \(y\) ist, dann gibt es entweder keinen Wert von \(y\), oder es gibt einen, nämlich \(y_1\), dessen sämtliche Divisoren zugleich Divisoren von \(D\) sind. Dieser Satz wird dazu verwendet, das Problem zu lösen: Gegeben seien \(n\) Primzahlen \(p_1 ,p_2 ,\dots ,p_n\); man soll alle positiven Werte einer Zahl \(N\) finden, für welche \(N(N+h)\) durch keine anderen Primzahlen als die genannten teilbar ist, indem \(h=1\) oder 2. Dieses geschieht mittels des folgenden Theorems: Alle ganzen, positiven Lösungen in \(x\) der Gleichung \[ x^2 -1=aq_1^{z_1}q_2^{z_2}-q_m^{z_m}, \] wo \(a=\left\{{1\atop 4}\right.\) und \(q_1,q_2,\dots, q_m\) gegebene Primzahlen sind, befinden sich unter den Fundamentallösungen der Gleichungen \[ x_2 -D_1 y^2=1,\;x^2 -D_2 y^2 =1,\dots , x^2 -D_\nu y^2 =1, \] wo \(D_1 ,D_2 ,\dots ,D_\nu\) alle Werte des Produkts \(D_2 aq_1^{\varepsilon_1} q_2^{\varepsilon_2}\dots q_m^{\varepsilon_m}\) sind, indem \(\varepsilon_1 , \varepsilon_2,\dots , \varepsilon_m\) auf alle möglichen Weisen gleich 1 oder 2 gewählt werden.