On a problem of diophantine analysis in the works of Fermat, Euler, Jacobi, and Poincaré. (Q1491667)

Das Problem ist das folgende: Sind \(A,B,C,D,E\) ganze rationale Zahlen, so hat man \(x\) so zu bestimmen, daß \[ V(x)=A+Bx+Cx^2+Dx^3+Ex^4 \] eine Quadratzahl wird. \textit{Euler} und \textit{Fermat} gaben Lösungen desselben, indem sie aus ``primitiven Lösungen'' bestimmter Gleichungen unendlich viele neue Lösungen fanden. In bestimmten Fällen konnte das Verfahren auch abbrechen. \textit{Jacobi} hat dann gezeigt, daß , wenn man \[ \int \frac{dx}{\sqrt{V(x)}}=\varPi(x) \] setzt, die \textit{Eulersche} Lösung auf die Berechnung der rationalen Wurzeln der Gleichung \(\varPi(y)=n\varPi(x)\) für beliebiges ganzes rationales \(n\) herausläuft. Der Verf. zeigt, daß dasselbe auch von der \textit{Fermat}schen Lösung zu sagen ist. Zum Schluß\ wird das verwandte, von \textit{Poincaré} behandelte Problem erwähnt, die Punkte einer durch rationale Zahlkoeffizienten gegebenen algebraischen Kurve zu bestimmen, die rationale Koordinaten haben.