On the partition of positive integers in four classes according to the minimal number of squares needed to their additive composition (Q1491714)

Es seien \({\mathfrak A}(x)\), \({\mathfrak B}(x)\), \({\mathfrak C}(x)\), \({\mathfrak D}(x)\) die Anzahlen der ganzen Zahlen \(\leq x\), die sich als Summe von wenigstens \(1,2,3,4\) Quadraten darstellen lassen. Ganz elementare Überlegungen zeigen, daß \[ \lim_{x\to\infty}\;\frac{{\mathfrak D}(X)}{x}=\tfrac{1}{6},\quad \lim_{x\to\infty}\;\frac{{\mathfrak C}(x)}{x}= \tfrac{5}{6},\quad \lim_{x\to\infty}\;\frac {{\mathfrak A}(x)}{\sqrt{x}}=1. \] Dagegen ist das asymptotische Gesetz der Funktion \({\mathfrak B}(x)\) schwieriger zu entdecken. Dem Verf. gelingt es durch seine Methode (Komplexe Integration über Funktionen von Dirichletschen Reihen), auch diesen Fall zu erledigen. Das Resultat lautet: \[ \lim_{x\to\infty} \frac{\mathfrak B(x)}{\frac{x}{\sqrt{\log x}}}=b>0. \]