Theory of algebraic numbers. Vol. 1 (Q1491721)

Dieses Lehrbuch gibt eine Gesamtdarstellung derjenigen Auffassung der Zahlentheorie, wie sie der Verf. schon in verschiedenen Abhandlungen vertreten hat. Es handelt sich um die Einführung von Methoden in die \textit{Zahlentheorie}, die den Methoden der \textit{Funktionentheorie} entsprechen. Wie aber etwa im Mittelpunkt der Weierstraßschen Funktionentheorie der Satz steht, daß jede analytische Funktion in der Umgebung eines jeden regulären Punktes in eine konvergente Potenzreihe zu entwickeln ist, so sucht diese Zahlentheorie für die Zahlen unendlich viele Reihenentwicklungen, nicht nur etwa die Reihenentwicklung der Dezimalbrüche (nach fallenden Potenzen von 10). Im 1. Kap. wird nach diesen Grundsätzen die Theorie der ganzen rationalen positiven Zahlen gegeben. Dieselben werden nicht etwa modulo der Primzahl \(p\), sondern im Bereich der Primzahl \(p\) betrachtet, analog den ganzen rationalen Funktionen, die in einem Bereich der Variable \(z\) studiert werden. Jede ganze positive Zahl \(A\) läßt sich auf eine einzige Weise nach steigenden Potenzen von \(p\) entwickeln. \[ A=a_0+a_1p+a_2p^2+\cdots +a_{\varrho}p^{\varrho}\quad (0\leqq a_i<p). \] Dies ist die Darstellung von \(A\) im \(p\)-\textit{adischen Zahlsystem}: \[ A=a_0, a_1a_2\dots a_\varrho (p). \] Sind alle \(a\) bis zu \(a_{\alpha}\) gleich Null, so ist \(A\) durch \(p^{\alpha}\) teilbar: \(\alpha\) heißt die \textit{Ordnungszahl} von \(A\). Ist \(\alpha =0\), so ist \(A\) eine \textit{Einheit} für den Bereich von \(p\). Bricht man die Darstellung von \(A\) bei dem Gliede \(a_kp^k\) ab, so heißt dieselbe ein \(k\)-\textit{ter Näherungswert} von \(A\). Zwei Zahlen sind aber kongruent \(\pmod{p^k}\), wenn ihre \((k-1)\) ersten Näherungsbrüche übereinstimmen. Es liegt nahe, den Bereich der ganzen Zahl durch folgende Gedankendinge zu erweitern: \[ c_0+c_1p.+c_2p^2+\dots =\sum_0^{\infty}c_ip^i, \] wo eine Vorschrift existiert, nach der man die ganzen rationalen Zahlen \(c\)(\,mod.\,\(p\)) beliebig weit berechnen kann. Alle diese Gedankendinge sollen \(p\)-\textit{adische Zahlen} heißen. Zu dieser Erweiterung wird man geführt, falls man die Subtraktion allgemein definieren will. Das 2. Kap. behandelt diese allgemeinen \(p\)-adischen Zahlen. Eine \(p\)-adische Zahl ist größer als eine andere, wenn ihre Ordnung kleiner ist als die Ordnung der andern. Zwei \(p\)-adische Zahlen heißen gleich, wenn sie für jede noch so hohe Potenz von \(p\) als Modul einander kongruent sind. Für \(p\)-adische Zahlen kann Addition, Subtraktion und Multiplikation festgelegt werden. Die Division führt zu einer neuen Erweiterung, nämlich zur Einführung der \textit{gebrochenen \(p\)-adischen Zahlen}: \[ D=\frac{d_{-\varrho}}{p^{\varrho}}+\frac{d_{-\varrho+1}}{p^{\varrho-1}}+\cdots +\frac{d_{-1}}{p}+d_0+d_1p+d_2p^2+\cdots. \] Auch für diese gelten die obigen Festsetzungen. Alle diese Zahlen bilden den zu \(p\) gehörigen Zahlkörper \(K(p)\). Der Körper der rationalen Zahlen ist in \(K(p)\) enthalten. Nicht jede \(p\)-adische Zahl ist aber durch eine rationale Zahl repräsentiert; sie wird durch eine rationale Zahl gegeben, wenn sie \textit{periodisch} ist. Läßt man die \(d\) auch gebrochene Zahlen sein, so kann man für die rationalen Zahlen stets eine \(p\)-adische Darstellung finden, die absolut konvergiert und die gegebene Zahl der Größe nach darstellt. Diese ist eindeutig bestimmt und soll von nun an unter der \(p\)-adischen Darstellung verstanden werden. Kap. 3 behandelt ganze rationale Funktionen mit \(p\)-adischen Koeffizienten. Analog der elementaren Behandlungsweise werden hier im \textit{Bereiche von p} das euklidische Verfahren zur Bestimmung der Teiler, die Resultanten und Diskriminanten dieser rationalen Funktionen behandelt. Diese Entwicklungen werden in Kap. 4 auf die Zerlegung einer ganzen rationalen Funktion in irreduzible Faktoren für \(p\)-adische Koeffizienten angewendet. Eine Funktion, die im Bereich der rationalen Zahlen unzerlegbar ist, kann im Bereich von \(p\), also in \(K(p)\) reduzibel werden. Eine Funktion kann auf eine und nur auf eine Weise in irreduzible Faktoren in \(K(p)\) zelegt werden. Der Verf. zeigt, wie man dieselben finden dann, und wendet dies auf die Gleichung \(x^{p-1}-1=0\) an. Die Gleichung \(x^\mu -B=0\) gibt die Theorie der Potenzreste. Kap. 5 bringt die einfachsten Begriffe aus der üblichen Theorie der algebraischen Zahlen: Körper, ganze Zahl, Norm, Diskriminante, Basis. Kap. 6. Die irreduziblen Faktoren einer Funktion in \(K(p)\) brauchen nicht linear zu sein. Um die \textit{algebraische Zahl} modulo \(p\) zu erhalten, bedarf es einer erneuten Erweiterung des Zahlbegriffes. Es sei \(\alpha\) die gegebene algebraische Zahl, die auch in \(K(p)\) einer irreduziblen Gleichung genüge, \(\gamma_1,\ldots,\gamma\lambda\) ein Basensystem von \(K(\alpha)\). Dann ist \[ \varepsilon =e_1\gamma_1+\cdots +e_\lambda \gamma_{\lambda} \] \textit{reduziert}, wenn \(0\le e_i<p\). Unter den \textit{algebraischen \(p\)-adischen Zahlen} versteht dann der Verf. die Zahlen \[ \varepsilon_0+\varepsilon_1p+\varepsilon_2p^2+\cdots =\sum_0^\infty\varepsilon_ip^i, \] wo die \(\varepsilon\) reduzierte Zahlen sind. Alle diese Zahlen bilden \(K(\alpha, p)\). Unter einem Primfaktor \(\pi\) versteht man eine ganze Zahl, deren Norm durch die kleinst-mögliche Potenz \(pf\) von \(p(f>0)\) teilbar ist. Man kann dann die algebraisch-\(p\)-adischen Zahlen auch so darstellen: \[ \varepsilon^{(0)}+\varepsilon^{(1)}\pi +\varepsilon^{(2)}\pi^2+\cdots, \] wo die \(\varepsilon^{(0)}, \varepsilon^{(1)},\ldots\) Zahlen des Restsystems \(\pmod{\pi}\) sind. \(\pi\) hat die Form \(p^\frac{1}{e}\varepsilon\), wo \(\varepsilon\) eine im allgemeinen nicht zum Körper \(K(\alpha)\) gehörige Einheit ist. Man sieht deshalb die Analogie dieser Darstellung mit der Darstellung einer algebraischen Funktion in einem \textit{Verzweigungspunkt}. Alle diese \(p\)-adischen Zahlen genügen denselben Gesetzen wie die ursprünglichen. Kap. 7. bringt die Auflösung einer Gleichung in ihre Linearfaktoren in \(K(p,\alpha)\) und die Theorie der Faktoren der algebraischen Zahlen, d.h. ihrer Ideal-Faktoren. Aus diesen Grundsätzen ergeben sich nun, wie Kap. 8 und 9 zeigen, sehr einfach die Gesetze über die Zerlegung einer Primzahl und über die Primzahlen der Körperdiskriminante. Kap. 10 bringt die Theorie der außerwesentlichen Diskriminantenteiler. Kap. 11 zeigt, wie die Primzahlen wirklich in ihre Primteiler zerlegt werden. Da man nach Kap. 12 alle algebraischen Zahlen in \textit{konvergente} \(p\)-adische Reihen entwickeln kann, die also auch der Größe nach die Zahl darstellen, so gilt der Satz: daß jede zwischen ihnen bestehende rationale Gleichung mit rationalen Koeffizienten auch für den Bereich von \(p\) gültig bleibt und umgekehrt.