Sur une classe de fractions continues. (Q1491742)

Der Kettenbruch \[ \frac{\alpha_1}{\beta_1}+\frac{\alpha_2|}{|\beta_2}+\cdots \] wird untersucht unter der Annahme, daß \(a_n\), \(\beta_n\) lineare gebrochene Funktionen von \(n\) sind: \[ \alpha_n=\frac{\alpha (n-1)+\alpha '}{\gamma (n+1)+\gamma'},\quad \beta_n=\frac{\beta n+\beta'}{\gamma (n+1)+\gamma'}\quad (n\geqq 1). \] Zähler und Nenner des \(n\)-ten Näherungsbruches \(\frac{P_n}{Q_n}\) sind Lösungen einer homogenen linearen Differenzengleichung zweiter Ordnung mit linearen Koeffizienten in \(n\). Nach \textit{Lagrange} haben Lösungen die Form \[ y_n=\int_L x^n udx. \] Die unbekannte Funktion \(u\) sowie der Integrationsweg \(L\) werden durch denselben Ansatz gefunden. Zwei unabhängige \(y_n\) erscheinen in der Form hypergeometrischer Integrale. Man erhält \(\frac{P_n}{Q_n}\), und unter gewissen Voraussetzungen ergibt sich der Wert des unendlichen Kettenbruchs als Grenzwert von \(\frac{P_n}{Q_n}\). Die in der Untersuchung auftretenden \(F\)-Funktionen haben das vierte Argument \(x'/x''\), wo \(x'\) und \(x''\) die Wurzeln der Gleichhung \(\alpha +\beta x+\gamma x^2=0\) sind. Grenz- und Spezialfälle dieser Gleichung zur Unterscheidung einer Reihe von Fällen. Beispiele erläutern die allgemeinen Ergebnisse. Für den allgemeinen Fall kann das Resultat auch dahin ausgesprochen werden, daß zwei Kettenbruchentwicklungen für \(\frac{F(a,b+1,c+1,x)}{F(a,b,c,x)}\) gefunden worden sind.