The multiplication of conditionally convergent series. (Q1491815)

Es sei \(A_n=a_1+a_2+\cdots +a_n\), \(B_n=b_1+b_2+\cdots +b_n\), \(C_n=c_1+c_2+\cdots +c_n\); \(A,B,C\) seien die Summen der Reihen \(a_1+a_2+a_3+\cdots\), \(b_1+b_2+b_3+\cdots\), \(c_1+c_2+c_3\cdots,\) falls sie konvergent sind; darin sei \(c_n=a_1b_n+a_2b_{n-1}+\cdots+a_nb_1\). Dann gilt: Wenn alle drei Reihen konvergent sind, so ist \(C=AB\) (\textit{Abel}). -- Wenn \(A\) und \(B\) absolut konvergent sind, so ist \(C\) absolut konvergent (\textit{Cauchy}). -- Wenn \(A\) absolut, \(B\) bedingt konvergent ist, so ist \(C\) konvergent (\textit{Mertens}). -- Ferner: A. Wenn \(A\) und \(B\) konvergent sind und \(na_n\to 0\), \(nb_n\to 0\) für \(n\to\infty\), so ist \(C\) konvergent. B. Wenn \(A\) und \(B\) konvergent sind und \(n\psi(n)a_n\to 0\), \(nb_n:\psi(n)\to 0\), wo \(\psi(n)\) von der Form \((\log n)^\alpha\) \((\log \log n)^\beta (\log \log \log n)^\gamma\cdots\) als Funktion von \(n\), so ist \(C\) konvergent. C. Wenn \(A\) und \(B\) konvergent sind und \(| na_n| <K, | nb_n|<K\) für alle Werte von \(n\) ist, so ist \(C\) konvergent. Beweis der \textit{Pringsheim}schen Sätze. Wenn \(A\) absolut konvergent und \(B\) eine endlich oszillierende Reihe ist, deren \(n\)-tes Glied gegen 0 konvergiert, so ist \(C\) eine endlich oszillierende Reihe; und wenn die Oszillationsgrenzen von \(B\beta_1\) und \(\beta_2\) sind, so sind \(A\beta_1\) und \(A\beta_2\) diejenigen von \(C\). Es seien \(a(x)\) und \(b(x)\) stetige Funktionen, so daß \(\int_0^\infty a(x)dx\) und \(\int_0^\infty b(x)dx\) konvergent sind und die Werte \(A,B\) haben; \(c(x) sei = \int_0^xa(t)b(x-t)dt=\int_0^xa(x-t)b(t)dt\), \(A(x)=\int_0^xa(t)dt\), \(B(x)=\int_0^xb(t)dt\), \(C(x)=\int_0^xc(t)dt\). Wenn dann \(\int_0^\infty dx \int_0^xa(t)b(x-t)dt\) konvergent ist, so ist sein Wert \(AB\). Wenn \(A\) und \(B\) absolut konvergent sind, so ist es auch \(C\). Wenn \(A\) absolut und \(B\) bedingt konvergent ist, so ist \(C\) absolut oder bedingt konvergent. Wenn \(A\) und \(B\) konvergent sind, und \(xa(x)\to 0\), \(xb(x)\to 0\) für \(x\to \infty\) so ist \(C\) konvergent. Für die Konvergenz des Integrals \(\int_0^\infty f(x) dx\) ist notwending und hinreichend, daß \(\frac{1}{x} \int_0^x dt \int_0^t f(u)du\to 0\), \(\frac{1}{x} \int^x_0 tf(t) dt\to 0\). Wenn \(xa(x)<K\), \(xb(x)<k\), so ist \(C\) konvergent.