Generalisation of a theorem in the theory of divergent series. (Q1491816)

Wenn \(s_n=a_0+a_1+\cdots +a_n\) und \(s^k_n\) die erste der Größen \(s^1_n=(s_0+s_1+\cdots+s_n)/(n+1)\), \(s^2_n=(s^1_0+s^1_1+\cdots+s^1_n)/(n+1)\cdots\), ist, welche für \(n=\infty\) gegen eine Grenze Konvergiert, so heißt die Riehe summierbar \((Hk)\). Es sei \(A^k_n={n+k\choose k}\) und \(S^k_n=A^k_n a_0+A^k_{n-1} a_1+\cdots+A^k_0a_n\); wenn dann \(S^k_n/A^k_n\) für \(n=\infty\) gegen eine Grenze konvergiert, so heißt \(\sum a_n\) summierbar \((Ck)\). -- Dann gilt: Wenn \(\sum a_n\) summierbar \((Ck)\) und \(\sum n^k |\varDelta^{k+1}f_n|\) konvergent ist, so ist \(\sum a_nf_n\) summierbar \((Ck)\). Ihre Summe ist gleich derjenigen der absolut konvergenten Reihe \(\sum S^k_n\varDelta^{k+1}f_n\). Setzt man \(A^k_n a_0f_0+A^k_{n-1} a_1 f_1+A^k_{n-2}a_2 f_2+\cdots+ A^k_0 a_nf_n=T^k_n\), so ist \(T^k_n=\sum^n_{j=0} a_jS^k_j= \sum^n_{j=0} S^k_j \sum^k_{i=0} {k+1\choose i}{n-j-i+k\choose k-i}\;\varDelta^{k+1-i}f_{j+i}\), wobei für \(j+i>n f_{j+i}\) durch 0 zu ersetzen ist. Wenn \(\sum^n_0\nu^k|\varDelta^{k+1}f_\nu| <K\) für alle Werte von \(n\) und \(x\) ist, so ist die Reihe \(\sum S^k_j\varDelta^{k+1}f_j\) gleichmäßig konvergent.