Einige Bemerkungen zu dem \textit{Weierstraß}schen Kriterium für unendliche Reihen mit komplexen Gliedern. (Q1491822)

Es sei gegeben eine unbegrenzte Folge von Zahlen \(a_0,a_1,a_2,\dots,a_n\) und es sei \(| a_n| = A_n\). Anegenommen, der Quotient \(a_{n+k+1}/a_{n+k}\) lasse sich von einem bestimmten Werte von \(n\) an in eine endliche oder unendliche Reihe nach ganzen Potenzen von \(1/n\) verwandeln: \(a_{n+k+1}/a_{n+k} = 1 +c_1/n+c_2/n^2+\cdots\) \((n\geqq m)\), wo \(c_r = \mu_r + \nu_r i\) \((r=1,2,\dots)\) sein soll, so kann man folgendes schließen: I. Ist \(\mu_1>0\), so ist \(\lim A_n=+\infty\), und zwar wächst \(A_n\) von einem bestimmten Werte von \(n\) an mit \(n\) beständig. Die Reihe \(\sum a_n\) divergiert; ihre Partialsummen \(s_n=a_0+a_1+\cdots +a_n\) \((n=0,1,2,\cdots)\) liegen ihrem absoluten Betrage nach nicht unter einer positiven Zahl. II. Ist \(\mu_1=0\), so nähert sich \(A_n\) bei \(\lim n = + \infty\) einem endlichen positiven Grenzwerte, und zwar von einem bestimmten Werte von \(n\) an in einem Sinne. 1. Ist \(\nu_1\gtrless 0\), so hat \(a_n\) selbst bei \(n=+\infty\) keinen Grenzwert. 2. Ist \(\nu_1=0\), so hat \(a_n\) bei \(\lim n=+\infty\) einen endlichen, von Null verschiedenen Grenzwert. Die Reihe \(\sum a_n\) divergiert auch in diesen Fällen, und zwar liegen die absoluten Beträge der Teilsummen \(s_n\) nicht unter einer positiven Zahl. III. Ist \(\mu_1<0,\) so ist \(\lim A_n=0\), und zwar nimmt \(A_n\) von einem bestimmten Werte von \(n\) an mit wachsendem \(n\) beständig ab. 1. Falls \(0>\mu_1>-1\) ist, diviergiert die Reihe \(\sum a_n\). Die absoluten Beträge der Summen \(s_n=a_0+a_1+\cdots+a_n\) liegen unter einer positiven Zahl dann und nur dann, wenn \(\mu_1=-1\) und zugleich \(\nu_1\gtrless 0\) ist. 2. Falls \(\mu_1<-1\) ist, konvergiert die Reihe \(\sum a_n\) absolut. Der \textit{Stolz}sche Beweis dieses \textit{Weierstraß}schen Satzes wird vereinfacht.