Sur la convergence uniforme d'une classe de séries infinies. (Q1491825)

I. Es sei \(f_0(x),f_1(x),f_2(x),\dots,f_n(x),\dots\) eine unbegrenzte Folge von Funktionen, von denen \(f_0(x)\) endlich und bestimmt ist, während die Reihe positiver Glieder \(\sum| f_n(x)-f_{n+1}(x)|\) gleichmäßig konvergent ist, wenn die Veränderliche \(x\) eine beliebige unendliche Menge \(k\) durchläuft; ist dann die Reihe \(\sum a_n\) konvergent, so ist die neue unendliche Reihe \(\sum a_nf_n(x)\) gleichmäßig konvergent in der Menge \(K\). Für die \textit{Dirichlet}sche Reihe \(D(x)=\sum_\nu(c_\nu/\lambda_\nu^x)\) \((\nu=1,2,\dots,\infty)\), worin die \(c_\nu\) beliebige, von \(x\) unabhängige Zahlen bedeuten, während dagegen die unbegrenzte Reihe der positiven Zahlen \(\lambda_1,\lambda_2\lambda_3,\dots,\lambda_n,\dots\) den Bedingungen \(\lambda_{n+1}>\lambda_n\), \(\lim\lambda_n=+\infty\) für \(n=\infty\) genügen, gilt dann: II. Der Konvergenzbereich einer \textit{Dirichlet}schen Reihe ist die Menge der Werte von \(x\), die den Bedingungen \(| x|\leqq G\) und \(R(x)>\lambda\) genügen. Unter der Voraussetzung \(x\leqq G\) und \(R(x)\geqq\lambda+\delta\), wo \(\delta\) eine beliebig kleine, aber angebbare Größe bedeutet, ist die \textit{Dirichlet}sche Reihe \(D(x)\) gleichmäßig konvergent, und ihre Summe stellt demnach eine analytische Funktion von \(x\) dar. Eine weitere Anwendung des Satzes I. wird auf die Fakultätenreihe und eine Reihe von Binomialkoeffizienten gemacht, und dann wird namentlich der Satz bewiesen: VI. Ist der reelle Teil von \(x\) größer als \(+1\), während der reelle Teil von \(\alpha\) gleichzeitig positiv und größer als \(\varrho\) ist, so ist \[ \frac{D(x+\alpha)}{x+\alpha}=\sum_{n=0}^\infty A_n{x-1\choose n}, \] wo die Reihe der rechten Seite absolut konvergent ist und \[ A_n=(-1)^n\int_0^1f(t)t^\alpha(1-t)^ndt=\sum_{r=0}^n(-1)^r{n\choose r}\frac{D(\alpha+n-r+1)}{\alpha+n-r+1} \] ist.