Sur l'approximation des fonctions d'une variable réelle et de leurs dérivées par des polynômes et des suites limitées de \textit{Fourier}. (Q1491841)

Die Abhandlung ist dem gründlichen Studium der Polynome \(P_n\) und der begrenzten \textit{Fourier}schen Reihen \(I_n\) gewidmet, deren Definition durch die Integrale gegeben ist: \[ P_n=\frac{k_n}{2}\int_0^1f(u)[1-(u-x)]^ndu, \] \[ I_n=\frac{h_n}{2}\int_{-\pi}^\pi f(u)[\cos\tfrac12(u-x)]^{2n}du, \] \[ k_n=\frac{3.5\dots(2n+1)}{2.4\dots2n},\quad h_n=\frac1\pi\cdot\frac{2.4\dots2n}{1.3\dots(2n-1)}. \] Die Funktion \(f(x)\) wird als summierbar in dem \textit{Lebesgue}schen Sinne vorausgesetzt und (nur in \(I_n\)) von der Periode \(2\pi\). Wenn es sich um \(P_n\) handelt, so nimmt man an, daß \(x\) in einem innerhalb (0,1) gelegenen Intervalle \((a,b)\) variiert. Der Verf. beschäftigt sich mit den Grenzen der \(P_n,I_n\) und ihrer sich folgenden Ableitungen für \(n=\infty\). Zu diesem Behufe definiert er die verallgemeinerten Ableitungen von \(f(x)\) wie folgt. Wenn man Relationen von der Art der folgenden aufschreiben kann: \[ \frac{f(x+h)-f(x)}{2}=a_1h+a_3\frac{h^3}{3!}+\cdots+a_{2r-1}\;\frac{h^{2r-1}}{(2r-1)}!+(a_{2r+1}+\omega')\,\frac{h^{2r+1}}{(2r+1)!}, \] \[ \frac{f(x+h)+f(x-h)}{2}=a_0+a_2\;\frac{h^2}{2!}+\cdots +a_{2r-2}\,\frac{h^{2r-2}}{(2r-2)!}+(a_{2r}+\omega'')\frac{h^2r}{(2r)!}\,, \] wo die \(a\) von den \(h\) unabhängig sind und \(\omega',\omega''\) mit \(h\) unendlich klein, dann sind \(a_1,a_3,\dots,a_2,a_4,\dots\) verallgemeinerte Ableitungen von \(f(x)\) bzw. von ungerader und von gerader Ordnung. Hiernach erhält man das folgende Theorem: Die Ableitungen beliebiger Ordnung \(r\) der Ausdrücke \(P_n,I_n\) haben als Grenze für \(n=\infty\) die Ableitung \(r\)-ter Ordnung von \(f(x)\) in jedem Punkte, wo diese Ableitung existiert, und noch allgemeiner die verallgemeinerte Ableitung in jedem Punkte, wo diese existiert. Im besonderen nähern sich \(P_n\) und \(I_n\) dem Werte \(a_0\), wenn \(a_0\) existiert. Der Verf. forscht nach dem \textit{Grade der Annäherung} von \(f(x)\) durch das Polynom \(P_n\). Unter der Voraussetzung, daß \(f(x)\) beschränkte Ableitungen nach links und nach rechts besitzt, zeigt er, daß die Annäherung in dem Intervall \((a,b)\) von der Ordnung \(1:\sqrt{n}\) ist. Mit \(I_n\) wird ein Summationsverfahren der \textit{Fourier}schen Reihe \(\frac12a_0+\sum(a_k\cos kx+b_k\sin kx)\) in Zusammenhang gebracht. Dies besteht in der Ermittlung der Grenze für \(n=\infty\) von \[ S_n=\tfrac12\,a_0+\sum\;\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{(n+1)(n+2)\cdots(n+k)}\;(a_k\cos kx+b_k\sin kx). \] Wenn \(a_k\) und \(b_k\) die \textit{Fourier}schen Koeffizienten von \(f(x)\) sind, so unterscheidet sich \(S_n\) von \(I_n\) nur um einen sich der Einheit nähernden Faktor. Wenn man also die \textit{Fourier}schen Reihe einer Funktion \(f(x)\) ableitet, so ist die Summe einer abgeleiteten Reihe beliebiger Ordnung, berechnet nach dem Verfahren \((S_n)\) gleich der verallgemeinerten Ableitung derselben Ordnung von \(f(x)\), falls sie existiert. Schließlich wird gezeigt, daß das \textit{Poisson}sche Summationsverfahren dieselbe Eigenschaft besitzt.