Verallgemeinerung einer Formel von \textit{Stern}. (Q1491853)

Im Lehrb. d. algebr. Analysis (Leipzig 1860, S. 374) beweist Stern, daß \[ \frac {\sqrt 3}2=\frac{2\cdot4}{3\cdot 3}\cdot \frac{8\cdot 10}{9\cdot 9}\cdot \frac{14\cdot 16}{15\cdot 15} \cdots, \] was man auch so schreiben kann: \[ \frac{\sqrt{3}}{2}=\varPi_k\,\frac{2k}{3\left(2E\frac k3+1\right)}\,, \] wo \(\varPi_k\) sich auf alle ganzen positiven, durch 3 unteilbaren Zahlen \(k\) erstreckt. Mittels einer einfachen Betrachtung beweist der Verf. die Entwicklung \[ \frac{\sqrt a}{2\frac{a-1}{2}}=\varPi_k\;\frac{2k}{a\left(2E\frac k\alpha+1\right)}\,, \] welche für jede ganze positive Zahl \(a\) gültig ist und wo \(k\) alle ganzen, durch \(a\) unteilbaren Zahlen durchläuft.