Notes on some points on the integral calculus XXII. On double Frullanian Integrals. (Q1491922)

Fortsetzung der Betrachtungen über Doppelintegrale (vgl. F. d. M. 38, 344, 1907, JFM 38.0344.02). Als Analogon zu dem \textit{Frullani}schen einfachen Integral \[ (1)\quad \int_0^\infty \frac {dx}x [ \varphi (ax) -\varphi (bx)] \log (b/a)[\varphi (0) - \varphi (\infty)] \] wird zunächst das Verhalten der Formel geprüft: \[ (2) \quad \int_0^\infty \int_0^\infty \frac {dxdy}{xy} [\varphi (ax +\alpha y) - \varphi (bx+\alpha y) -\varphi (ax+\beta y) + \varphi (\alpha x+\beta y)] \] \[ = \log (b/a) \log (\beta/\alpha)[\varphi (0) - \varphi (\infty)], \] wo \(a, b, \alpha, \beta,\) positive Konstanten sind. Während das Integral (2) wenig Schwierigkeiten macht, erfordert das Integral \[ (3) \qquad \int_0^\infty \int_0^\infty \frac {\varphi (ax+by) - \varphi (cx +dy)}{(\alpha x+\beta y)(\gamma x+\delta y)}\;dxdy \] schon eine vorsichtigere Untersuchung; durch Transformation in Polarkoordinaten wird der Wert von (3) gefunden als: \[ \frac 1{\alpha\beta}\;[\varphi (\infty) -\varphi(0)]\left\{ \frac {(a/\alpha )\log (a/\alpha) - (b/\beta ) \log (b/\beta )}{(a/\alpha) - (b/\beta)} - \frac {(c/\alpha) \log (c/\alpha ) - (d/\beta) \log (d/\beta )}{(c/\alpha) -(d/\beta)} \right\}. \] Der Gültigkeitsbereich dieser Formel wird festgestellt, dann werden Beispiele gegeben. Endlich wird auch noch das Integral untersucht: \[ (10) \quad\quad \int_0^\infty \int_0^\infty \frac {\varphi (ax^2 +by^2) - (cx^2 + dy^2)}{\alpha x^2 + \beta y^2}\;dx\,dy = \tfrac 12\, \pi\;\frac {[\varphi (\infty) - \varphi(0)]}{\sqrt{\alpha \beta}}\;\log \frac {\sqrt{a/\alpha} +\sqrt{b/\beta}}{\sqrt{c/\alpha} + \sqrt{d/\beta}}\,. \]