Some multiple integrals. (Q1491923)

Es handelt sich um die Auswertung gewisser vielfacher Integrale, die \textit{Bessel}sche Funktionen unter dem Integralzeichen enthalten. Wir heben die Formel hervor: \[ \int_0^\infty\;\psi \{\sqrt {c^2 + x^2}\}\, x^{\nu+1} I_\nu (2\mu x) dx = \tfrac 12\, \mu^\nu c^{\alpha +2\nu+3} \psi_{-\alpha -2\nu -4}\{ c\sqrt{1+\mu^2}\} \quad (v > - 1), \] wobei \[ \psi_\alpha (x) = \int_0^\infty e^{-t^2 -x^2/t^2}\cdot t^\alpha dt. \] Im Falle \(c = 0\) gilt die Formel: \[ \int_0^\infty \psi_\alpha (x) x^{\nu+1} I_\nu (2\mu x) dx = \tfrac 14\, \mu^\nu\;\frac {\varGamma (\frac 12 (\alpha +3) +\nu)}{(1+\mu^\nu)^{\frac 12(\alpha+3)+\nu}}\,, \] so oft das Integral existiert.