Détermination et intégration d'une certaine classe d'équations différentielles ayant pour point singulier un centre. (Q1491945)

Die Differentialgleichung \[ (1)\qquad Y(x, y) dy +X(x, y) dx = 0, \] in der \(X\) und \(Y\) holomorphe Funktionen von \(x\) und \(y\) sind, die für \(x = 0\), \(y = 0\) verschwinden, aber Glieder ersten Grades in \(x\) und \(y\) besitzen, kann bekanntlich im allgemeinen mittels einer linearen Transformation der Variablen auf die Form \[ (2)\qquad (x + \cdots) dy + (- \lambda y + \cdots) dx = 0 \] gebracht werden, wo in den Klammern nur die Glieder ersten Grades in \(x\) und \(y\) hingeschrieben worden sind. -- Das Problem, diejenigen Differentialgleichungen (1) zu bestimmen, für welche der Anfangspunkt ein Wirbelpunkt (``centre'' im erweiterten \textit{Poincaré}schen Sinne) ist, stößt selbst in dem Falle auf große Schwierigkeiten, wo die Funktionen \(X\) und \(Y\) Polynome \(p\)-ten Grades in \(x\) und \(y\) sind und in der transformierten Gleichung (2) \(\lambda\) eine negative rationale Zahl ist. Verf. behandelt nun den Spezialfall \(n = 2\), \(\lambda= - 1,\) und hier gelingt es, das Problem vollständig zu lösen: es ergeben sich im ganzen 11 Formen von Differentialgleichungen; die darin enthaltenen Konstanten haben beliebige Werte. Es ergibt sich aber weiter das bemerkenswerte Resultat, daß die Integration aller dieser Differentialgleichungen in geschlossener Form vollzogen werden kann.